Question

Помогите решить дифференциальное уравнение с частными решениями.
Пример на прикреплённом фото.

Answer 1

Ответ:

$y=\cos x+2\sin 2x.$

Объяснение:

Это - линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Напишем соответствующее характеристическое уравнение:

$\lambda^4+5\lambda^2+4=0;\ (\lambda^2+1)(\lambda^2+4)=0;\ \lambda_{1,\, 2}=\pm i;\ \lambda_{3,\, 4}=2i.$

Поэтому мы имеем фундаментальную систему решений

$y_1=\cos x;\ y_2=\sin x;\ y_3=\cos 2x;\ y_4=\sin 2x,$

а общее решение имеет вид

$y=C_1\cos x+C_2\sin x+C_3\cos 2x+C_4\sin 2x.$

Чтобы использовать начальные условия, найдем первые три производные от общего решения:

$y'=-C_1\sin x+C_2\cos x-2C_3\sin 2x+2C_4\cos 2x;$

$y''=-C_1\cos x-C_2\sin x-4C_3\cos 2x-4C_4\sin 2x;$

$y'''=C_1\sin x-C_2\cos x+8C_3\sin 2x-8C_4\cos 2x.$

Подставляя начальные условия, получаем систему из четырех уравнений, причем выгодно отдельно решить систему из первого и третьего уравнений и систему из второго и четвертого уравнений:

$\left \{ {{C_1+C_3=1} \atop {-C_1-4C_3=-1}} \right.;\ \left \{ {{C_2+2C_4=4} \atop {-C_2-8C_4=-16}} \right. .$

Отсюда $C_1=1;\ C_3=0;\ C_2=0;\ C_4=2.$

Поэтому ответом к задаче служит функция $y=\cos x+2\sin 2x.$