Question

Решить иррациональные уравнения

Answer 1

Ответ:

Решить иррациональные уравнения .

$a)\ \ \sqrt{x^2+x-3}=\sqrt{1-2x}\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}x^2+x+3\geq 0\\1-2x\geq 0\end{array}\right$  

Обе части уравнения неотрицательны, можно возвести уравнение в квадрат .

$x^2+x-3=1-2x\ \ ,\ \ \ x^2+3x-4=0\ \ ,\\\\x_1=-4\ ,\ x_2=1\ \ (teorema\ Vieta)$

Проверка.

$x=-4:\ \sqrt{(-4)^2-4-3}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}=3\\\\{}\qquad \ \qquad \sqrt{1-2\cdot (-4)}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3\ \ ,\qquad 3=3\\\\x=1:\ \sqrt{1^2+1-3}=\sqrt{2-3}=\sqrt{-1}$

Второй корень не подходит, так как выражение под знаком корня не может быть отрицательным .

Ответ:  х= -4 .

P.S.  Из 2-го условия, записанного  в ОДЗ выходит, что  $1\geq 2x\ \ \to \ \ x\leq \dfrac{1}{2}$  . Корень х=1 не входит в этот промежуток , его

можно было сразу отсеять .

$b)\ \ \sqrt{2x^2+7}=x^2-4\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\{\begin{array}{l}x^2-4\geq 0\\2x^2+7=(x^2-4)^2\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x^2-4\geq 0\\2x^2+7=x^4-8x^2+16\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}(x-2)(x+2)\geq 0\\x^4-10x^2+9=0\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\(x^2-1)(x^2-9)=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\x^2=1\ ,\ x^2=9\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-2\ ]\cup [\ 2\ ;+\infty\, )\\x=\pm 1\ ,\ x=\pm 3\end{array}\right$  

Значения х= -1  и  х=1  не входят во множество решений 1-го неравенства .

Ответ:  х= -3 , х=3 .