Question

sinxcosy=1/3; cosxsiny=2/3; ctg(x-y)=?

Answer 1

Ответ:  
1) ctg(x-y)= - 2√2   ( если  3π/2 < (x - y) < 2π  - IV четверть )
2) ctg (x -y) = 2√2  ( если  π< (x - y) < 3π/2 - III четверть  )

Пошаговое объяснение:

Найти   ctg(x-y)=?  , если

$\left \{\begin{array} {l} \sin x \cos y = \dfrac{1}{3} \\\\ \cos x \sin y = \dfrac{2}{3} \end{array}$

Вычтем из первого уравнения системы , второе

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = \cfrac{1}{3} - \cfrac{2}{3} \\\\ \sin x \cos y - \sin y \cos x = -\cfrac{1}{3} \\\\ \sin (x - y) = -\dfrac{1}{3}$

Из основного тригонометрического тождества

$\sin ^2 a + \cos ^2 a = 1 \\\\ \sin ^2(x -y) + \cos^2 (x -y ) =1 \\\\ \cos (x-y) =\pm \sqrt{1-\bigg (-\dfrac{1}{3} \bigg ) ^ 2 } = \pm \dfrac{2\sqrt{2} }{3 }$

Т.к  нам не сказано в какой четверти находится угол (x - y) , рассматриваем два случая

$\hspace{-1,2em}1) ~\sin (x - y) = -\dfrac{1}{3} ~~ ,~~ \cos (x-y) =\dfrac{2\sqrt{2} }{3} \\\\\\ \mathrm{ctg}(x-y) = \dfrac{\cos (x-y)}{\sin (x - y)} = \dfrac{\dfrac{2\sqrt{2} }{3} }{-\dfrac{1}{3}} = - 2\sqrt{2}$

$\hspace{-1,2em}2) ~\sin (x - y) = -\dfrac{1}{3} ~~ ,~~ \cos (x-y) =-\dfrac{2\sqrt{2} }{3} \\\\\\ \mathrm{ctg}(x-y) = \dfrac{\cos (x-y)}{\sin (x - y)} = \dfrac{-\dfrac{2\sqrt{2} }{3} }{-\dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$

#SPJ1