Question

пж 3 задания заранее спасибо​

Answer 1

Решение.

$1)\ \ \bf cos3x-cosx=0$

Применим формулу разности косинусов .

$\bf -2\cdot sin\dfrac{3x-x}{2}\cdot sin\dfrac{3x+x}{2}=0\\\\sinx\cdot sin2x=0\\\\a)\ \ sinx=0\ ,\ \ x=\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sin2x=0\ \ ,\ \ 2x=\pi m\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi m}{2}\ \ ,\ \ m\in Z$

Ответ:  $\bf x_1=\pi n\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{\pi m}{2}\ \ ,\ \ n,m\in Z$  .

$\bf 2)\ \ f(x)=\dfrac{x^2+7x}{x+3}$  

Производная дроби   $\bf \Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$   .

$\bf f'(x)=\dfrac{(2x+7)(x+3)-(x^2+7x)\cdot 1}{(x+3)^2}=\dfrac{2x^2+13x+21-x^2-7x}{(x+3)^2}=\\\\\\=\dfrac{x^2+6x+21}{(x+3)^2}$  

Решаем уравнение

$\bf f'(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x^2+6x+21}{(x+3)^2}=0\ \ ,\ \ ODZ:\ x\ne -3\ ,\\\\x^2+6x+21=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=36-84=-48 < 0$    

Так как D<0 , то действительных решений нет .

Ответ:  $\bf x\in \varnothing$  .

3)  Заданное неравенство равносильно совокупности двух систем .

$\sqrt{14-x} > x-1\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x-1\geq 0\\\bf 13-x > (x-1)^2\end{array}\right\ \ ili\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x-1 < 0\\\bf 14-x\geq 0\end{array}\right$  

$a)\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x-1\geq 0\\\bf 14-x > (x-1)^2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x\geq 1\\\bf 14-x > x^2-2x+1\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{l}\bf x\geq 1\\\bf x^2-x-13 < 0\end{array}\right$  

$\bf x^2-x-13=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=1+52=53\ \ ,\\\\x_{1}=\dfrac{1-\sqrt{53}}{2}\approx -3,14\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\approx 4,14\\\\x^2-x-13 < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \Big(\ \dfrac{1-\sqrt{53}}{2}\ ;\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\ \Big)$

$\left\{\begin{array}{l}\bf x\geq 1\\\bf x\in \Big(\ \dfrac{1-\sqrt{53}}{2}\ ;\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\ \Big)\end{array}\right\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \bf x\in \Big[\ 1\ ;\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\ \Big)$  

$\bf b)\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x-1 < 0\\\bf 14-x\geq 0\end{array}\\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x < 1\\\bf x\leq 14\end{array}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \bf x < 1\ \ ,\ \ x\in (-\infty ;\ 1\ )$  

$\bf c)\ \ \left[\begin{array}{l}\bf x\in \Big[\ 1\ ;\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\ \Big)\\\bf x\in (-\infty;\ 1\ )\end{array}\right\ \Rightarrow \ \ \ \bf x\in (-\infty ;\, 1\, )\cup \Big[\ 1\ ;\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\ \Big)\ \ \Rightarrow \\\\\\\bf x\in \Big(-\infty \ ;\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\ \Big)$

Ответ:  $\bf x\in \Big(-\infty \ ;\dfrac{1+\sqrt{53}}{2}\ \Big)$  .