Question

f(x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 19x + 7 знайти проміжок на якому функція спадає

Answer 1

Ответ:

Функция убывает на $\left[\dfrac{3-\sqrt{66} }{3} ;\dfrac{3+\sqrt{66} }{3} \right]$

Пошаговое объяснение:

Найти промежутки убывания функции

$f(x)=x^{3} -3x^{2} -19x+7$

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел

D(f) = ( - ∞ ; + ∞)

Найдем производную данной функции

$f'(x)=(x^{3} -3x^{2}-19x +7)'= 3x^{2} -3\cdot 2x-19=3 x^{2} -6x-19$

Найдем критические точки, решив уравнение :

$f'(x)=0;\\3x^{2} -6x-19=0;\\D=(-6)^{2} -4\cdot3\cdot (-19)= 36+228=264=4\cdot66\\x{_1}= \dfrac{6-2\sqrt{66} }{6} =\dfrac{2(3-\sqrt{66}) }{6} =\dfrac{3-\sqrt{66} }{3};\\\\x{_2}= \dfrac{6+2\sqrt{66} }{6} =\dfrac{2(3+\sqrt{66}) }{6} =\dfrac{3+\sqrt{66} }{3}.$

Полученные критические точки  разбивают числовую прямую на три промежутка. Определим знак производной на каждом промежутке ( во вложении)

Если $f'(x) < 0$ на некотором промежутке, то функция убывает на данном промежутке.

Функция непрерывна в точках $\dfrac{3-\sqrt{66} }{3}$   и    $\dfrac{3+\sqrt{66} }{3}$

Тогда функция убывает на $\left[\dfrac{3-\sqrt{66} }{3} ;\dfrac{3+\sqrt{66} }{3} \right]$

#SPJ1