Question

Отношение третьего члена арифметической прогрессии к десятому равно 11/32. Сумма четвертого и восьмого члена прогрессии равна 16. Найдите одиннадцатый член данной прогрессии​

Answer 1

Ответ:

$\frac{a_{3}}{a_{10} } = \frac{11}{32}$

$a_{4} + a_{8} = 16$

Формула n-члена арифметической прогрессии:

$a_{n} = a_{1} + d(n - 1)$

n – номер члена прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

Подставим эту формулу в сумму четвертого и восьмого членов.

$a_{1} + d(4 - 1) + a_{1} + d(8 - 1) = 16 \\ 2a_{1} + 10d = 16 \\ \frac{2a_{1} + 10d}{2} = \frac{16}{2} \\ a_{1} + 5d = 8$

Теперь ту же формулу в отношение третьего к десятому.

$\frac{a_{1} + d(3 - 1) }{a _{1} + d (10 - 1) } = \frac{11}{32} \\ \frac{a_{1} + 2d}{a_{1} + 9d } = \frac{11}{32} \\ 32(a_{1} + 2d) = 11(a_{1} + 9d) \\ 32a_{1} + 64d = 11a_{1} + 99d \\32a_{1} - 11a_{1} = 99d - 64d \\ 21a_{1} = 35d \\ a_{1} = \frac{35d}{21}$

Подставим это значение в то, что получилось из суммы выше.

$a_{1} + 5d = 8 \\ \frac{35d}{21} + 5d = 8 \\ \frac{35d}{21} + \frac{105d}{21} = 8 \\ \frac{140d}{21} = 8 \\ 140d = 8 \times 21 \\ 140d = 168 \\ d = \frac{168}{140} \\ d = 1.2$

А теперь найдем первый член:

$a_{1} = \frac{35 \times 1.2}{21} = \frac{42}{21} = 2$

Теперь остается просто подставить эти значения в формулу одиннадцатого члена.

$a_{11} = a_{1} + d(11 - 1) \\ a_{11} = a_{1} + 10d$

$a_{11} = 2 + 1.2 \times 10 = 2 + 12 = 14$

Одиннадцатый член равняется 14.