Question

Подробно пожалуйста!!!!
номер 31.5 ​

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(x-1)^{n}}{n\cdot 4^{n-1}}$

Применим признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда .

$\displaystyle \lim \limits_{n \to \infty}\ \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim \limits_{n \to \infty}\ \frac{|x-1|^{n+1}}{(n+1)\cdot 4^{n}}\cdot \frac{n\cdot 4^{n-1}}{|x-1|^{n}}=\lim \limits_{n \to \infty}\ \frac{|x-1|}{4}=\frac{|x-1|}{4}\\\\\\\frac{|x-1|}{4} < 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |x-1| < 4\ \ .\ \ -4 < x-1 < 4\ \ ,\ \ \underline{-3 < x < 5}$

Интервал сходимости заданного ряда:  $x\in (-3\, ;\, 5\, )$  . Исследуем границы интервала.

$x=5:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(5-1)^{n}}{n\cdot 4^{n-1}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{4^{n}}{n\cdot 4^{n-1}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{4}{n}=4\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{1}{n}$  

Это ряд гармонический расходящийся ряд, все члены которого умножены на 4. Сходимость ряда от умножения на число не изменится . При х=5 ряд расходится .

$x=-3:\ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(-4)^{n}}{n\cdot 4^{n-1}}=4\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(-1)^{n}}{n}$  

Этот знакочередующийся полугармонический ряд сходится условно по признаку Лейбница .  При х= -3 ряд сходится условно .

Область сходимости:   $x\in [\, -3\ ;\ 5\ )$  .