Question

Помогите пожалуйста решить:
Представить двойной интеграл (на прикрепленном фото) в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по х и внешним интегрированием по у, если область D задана указанными линиями ( на прикрепленном фото).

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \boldsymbol {\int\limits^1_0 {} \, dx \int\limits^{-x^2}_{-\sqrt{1-x^2} } {f(x,y)} \, dy}$

Пошаговое объяснение:

Прежде всего делаем чертеж и определяем, что х изменяется от 0 до 1, а у изменяется от $\displaystyle -\sqrt{1-y^2}$  до -x².

Как мы это получили?

Нам надо выразить y через x и сохранить графики, которые заданы условиями.

x² = -y  ⇒  y = -x²

Второе уравнение $\displaystyle x=\sqrt{1-y^2}$  представляет собой уравнение окружности, ее "правую" часть. Из этой правой части в нашу область интегрирования попадает только часть окружности в четвертой четверти. Эту часть окружности мы можем получить и из  "нижней" части окружности, которая выражается формулой $\displaystyle y=-\sqrt{1-x^2}$.

Таким образом, мы получили пределы интегрирования

х от 0 до 1

у от $\displaystyle -\sqrt{1-x^2}$  до -x²   -√(1-x²)

И тогда получим такой повторный интеграл

$\displaystyle \int\limits^1_0 {} \, dx \int\limits^{-x^2}_{-\sqrt{1-x^2} } {f(x,y)} \, dy$

#SPJ1