Question

Розв’язати диференціальне рівняння: решить задания на фото

Answer 1

Ответ:

2.    $\displaystyle \boldsymbol {y(x)=-C_1 \sqrt[\displaystyle x]{e} +1 }$

3.     $\displaystyle \boldsymbol {y(x)=C_1e^{-3x} +C_2e^{3x}}$

Пошаговое объяснение:

2

Это уравнение с разделяющимися переменными. Слегка преобразуем уравнение и потом разделим обе части на х²(1-y)

$\displaystyle x^2dy+(y-1)dx=0\\\\x^2dy=-(y-1)dx\\\\x^2dy=(1-y)dx\\\\\frac{1}{1-y} dy= \frac{1}{x^2} dx$

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения

$\displaystyle \int {\frac{1}{1-y} } \, dy=\int{\frac{1}{x^2} } \, dx \\\\\\ln(1-y)=-\frac{1}{x} +C\\\\\\y(x)=-e^ \displaystyle {\frac{1}{x}-c}}+1$

Теперь упростим константы и получим

$\displaystyle \boldsymbol {\boxed{y(x)=-C_1 \sqrt[\displaystyle x]{e} +1 }}$

3 решаем как линейное однородное уравнение.

Проведем замену

$\displaystyle y''-9y=0\\\\y=e^{\lambda x}\\\\\bigg(e^{\lambda x}\bigg)''=\lambda ^2e^{\lambda x}\\\\\\\lambda ^2e^{\lambda x}-9 e^{\lambda x}=0\\\\e^{\lambda x}( \lambda^2-9)=0$

Поскольку $\displaystyle \large \boldsymbol{e^{\lambda x}}$ ≠ 0, получим

$\displaystyle \lambda ^2-9 = 0\\\\\lambda =\pm3$

Мы получим сейчас два  решения

$\displaystyle \lambda = -3\quad \Rightarrow\quad y_1(x) = C_1e^{-3x};\\\\ \lambda = 3\quad \Rightarrow\quad y_1(x) = C_2e^{3x};$

Объединим эти два решения и получим ответ

$\displaystyle \boldsymbol {\boxed{y(x)=C_1e^{-3x} +C_2e^{3x}}}$

#SPJ1