Question

Что в этих примерах происходит с минусом, который в самом начале при задании внести множитель под $\sqrt{x}$ и 4-тый пример тоже интересует формула работает на оборот? $\sqrt{a} = |a| = \left \{ {{a, a\geq0 } \atop {-a, a<0}} \right.$

Answer 1

Решение.

$\bf 1)\ -d^7\sqrt{7d}$  

Под корнем может стоять только неотрицательное выражение, то есть  $\bf 7d\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ d\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ d^7\geq 0$

Поэтому вносим под знак корня только неотрицательное  $\bf d^7$ , а минус , который на самом деле является числовым множителем  (-1 ) , остаётся перед  знаком корня.

$\bf -d^7\sqrt{7d}=-1\cdot d^7\sqrt{7d}=-1\cdot \sqrt{(d^7)^2\cdot 7d}=-\sqrt{d^{14}\cdot 7d}=-\sqrt{7d^{15}}$  

$\bf 2)\ \ -b\sqrt{6b^2c}\ ,\ \ b > 0$  

Здесь важно, что указали знак b , b>0 , так как под знаком корня стоит  b² , и сделать вывод о знаке b невозможно, т.к. и при отрицательных и при положительных b выражение  b²≥0 .

Поступаем аналогично 1 примеру . Минус остаётся перед корнем, а вносится под корень только положительное выражение .

 $\bf -b\sqrt{6\, b^2c}=-\sqrt{b^2\cdot 6b^2c}=-\sqrt{6\, b^4c}$  

$\bf 3)\ \ -p^3n^2\sqrt{7p^2n^4}\ \ ,\ \ p > 0$  

Знак  р  известен , а знак  n  неважен, так как и  n²≥0  и  n⁴≥0 . Минус остаётся перед знаком корня .

$\bf -p^3n^2\sqrt{7p^2n^4}=-\sqrt{(p^3)^2\cdot (n^2)^2\cdot 7p^2n^4}=-\sqrt{p^6n^4\cdot 7p^2n^4}=-\sqrt{7p^8n^8}$

$\bf 4)\ \ b\sqrt{7b^4c}\ ,\ \ b < 0$

Так как  b<0 , то сам символ b как бы включает в себя знак минус , то есть можно записать   $b=-|\, b\, |\ ,\ |b| > 0$  .  И под знак корня вносим только положительное число  $|\, b\, |$ , а знак минус остаётся перед корнем :  $-|\, b\, |=-\sqrt{|\, b\, |^2}=-\sqrt{b^2}$  .  Учли, что  $|\, b\, |^2=b^2$  при положительном или отрицательном b .

Правило внесения под знак корня в таком случае выглядит так:  

                            $\bf b\sqrt{a}=-\sqrt{b^2\, a}\ ,$  если  $\bf b < 0$  .

$\bf b\sqrt{7\, b^4c}=-\sqrt{b^2\cdot 7\, b^4\, c}=-\sqrt{7\, b^6c}$  

Замечание .  а) Если применить правило извлечения квадратного

корня  $\bf \sqrt{b^2}=|\, b\, |$  ,  то  при  $\bf b < 0$  имеем

 $\bf -\sqrt{b^2}=-|\underbrace{b}_{ < 0}|=-(-b)=b$  

б) Например, отрицательное число  $\bf b=-5=-\sqrt{5^2}=-\sqrt{25}$  .

$\bf 5)\ \ -p\sqrt{11\, np^2}\ ,\ \ p < 0$  

Поступаем аналогично , только удобно минус перед корнем записать как множитель  -1 .

$\bf -p\sqrt{11\, np^2}=-1\cdot (\, p\sqrt{11\, np^2}\, )=-1\cdot (-\sqrt{p^2\cdot 11\, np^2})=\sqrt{11\, p^4n}$