Question

Найди экстремумы функции y = (x-2)^2*e^x-3

Answer 1

Ответ:

x₁ = 0 -  точка максимума. y(0) = 4/e³

x₂ = 2  - точка минимума/ y(2) = 0

Пошаговое объяснение:

Найдем критические точки.

Первая производная.

$\displaystyle y'=\bigg((x-2)^2*e^{x-3}\bigg)'=2(x-2)*e^{x-3}+(x-2)^2*e^{x-3}=x(x-2)*e^{x-3}$

Приравняем к нулю, читывая, что   $\displaystyle \large \boldsymbol {e^{x-3}}\neq 0$.

x(x-2)=0

x₁ = 0

x₂ = 2

Это критические точки. Теперь посмотрим, какая из них минимум а какая максимум

Вторая производная

$\displaystyle \displaystyle y''=\bigg(2(x-2)*e^{x-3}+(x-2)^2*e^{x-3}\bigg)'=\\\\2*e^{x-3}+2(x-2)*e^{x-3}+2(x-2)*e^{x-3}+(x-2)^2*e^{x-3}=(x^2-2)*e^{x-3}$

Значение второй производной в критических точках

$\displaystyle y''(0) = -\frac{2}{e^3} < 0,$   значит x₁ = 0 - это точка максимума.

$\displaystyle y''(2) = \frac{2}{e^x} \; > 0,$  значит, x₂ = 2  - это точка минимума.