Question

№ 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у = 1, параболой
у = х^2- 2х + 2 касательной, проведѐнной к этой параболе в точке еѐ пересечения с осью ординат.

Answer 1

Ответ:

1/12

Объяснение:

х=0 у=2

уравнение касательной в точке х0 =0

у=у(0)+у'(0)(х-0)

у'=2х-2

у'(0)=-2

у=2-2х

Answer 2

Объяснение:

$y=1\ \ \ \ \ y=x^2-2x+2 \ \ \ \ y_k=? \ \ \ \ \ S=?\\y=x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=(x-1)^2+1\ \ \ \ \ \Rightarrow\\y=(x-1)^2+1.$

Это график функции у=х², смещённый: на 1 единицу вправо вдоль оси ОХ и поднятый вверх на 1 единицу вдоль оси ОУ (см.Рис.).

        Найдём касательную к графику у=х²-2х+2 в точке х=0.

$y_k=y(0)+y'(0)*(x-0)\\y(0)=0^2-2*0+2=0-0+2=2.\\y'=(x^2-2x+2)'=2x-2.\\y'(0)=2*0-2=0-2=-2.\\y_k=2+(-2)*x=2-2x.\\x^2-2x+2=1\\x^2-2x+1=0\\(x-1)^2=0\\x-1=0\\x=1.\\2-2x=1\\-2x=-1\ |:(-2)\\x=0,5.\ \ \ \ \Rightarrow\\S=S_1+S_2=\int\limits^{0,5}_0 {(x^2-2x+2-(2-2x))} \, dx +\int\limits^1_{0,5} {(x^2-2x+2-1)} \, dx =\\=\int\limits^{0,5}_0 {(x^2-2x+2-2+2x)} \, dx+\int\limits^1_{0,5} {(x^2-2x+1)} \, dx =$

$=\int\limits^{0,5}_0 {x^2} \, dx +\int\limits^1_{0,5} {(x^2-2x+1)} \, dx=\frac{x^3}{3}\ |_0^{0,5}+ (\frac{x^3}{3} -x^2+x)\ |_{0,5}^1=\\=\frac{1}{8*3}+\frac{1^3}{3}-1^2+1 -(\frac{0,5^3}{3} -0,5^2+0,5)=\frac{1}{24} +\frac{1}{3}-(\frac{1}{8*3} -0,25+0,5)=\\ =\frac{1}{24}+\frac{1}{3} -(\frac{1}{24}+0,25)=\frac{9}{24}-(\frac{1}{24}+\frac{1}{4} )= \frac{9}{24} -\frac{7}{24}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12} .$

Ответ: S=0,083333 кв. ед.