Question

20 Баллов. Как разложить многочлен на множители?

Дано тождество и нужно доказать его. В книге также дано решение, но оно совсем непонятно. В чатности непонятно то что выделено красными рамками на скриншоте. Подскажите что и как раскладывается после замены на х y z

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Я так понимаю, что задающему вопрос непонятно, как прийти к формуле:

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

Я предлагаю подход, описанный ниже.

Запишем такое кубическое уравнение, корнями которого являются числа a, b, с:

$(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x-abc=0$

Соответственно подставляем x=a:

$a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ac)a-abc=0$

Подставляем x=b:

$b^3-(a+b+c)b^2+(ab+bc+ac)b-abc=0$

Подставляем x=c:

$c^3-(a+b+c)c^2+(ab+bc+ac)c-abc=0$

Теперь складываем 3 строки, записанные выше:

$a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc=0$

Тогда верно, что:

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(ab+bc+ac)$

И соответственно выносим a+b+c за скобки:

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

Получили известную в узких кругах формулу.

Теперь автор просит рассмотреть преобразования во второй скобке правой части равенства, записанного выше:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)$

Здесь стоит вспомнить очень известную формулу:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

Тогда все станет более чем понятно.

Дальнейшие комментарии по этому пункту не считаю необходимыми.

Задание выполнено!

Комментарий:

В приведенной Вами фотографии доказательства пояснено, что в случае вопроса по указанному переходу разумно обратиться к странице 111 учебника/задачника, предлагающего данного решение. Полагая, что Вы сделали это перед тем, как задать вопрос, уточню, что правильнее было бы указать на проблему в осознании того, что написано на странице 111 для получения более детального объяснения в областях, наиболее трудно дающихся Вам в осознании и осмыслении.