Question

Дослідити на екстремум.

Answer 1

Ответ:

в точке  M(-0,4;0,4) имеется минимум функции z(-0,4; 0,4) = -1,6

Пошаговое объяснение:

Найдем частные производные

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =12x+2y+4\\\\\\ \frac{\partial z}{\partial y} =12y+2x-4$

Решим систему уравнений

$\displaystyle \left \{ {{12x+2y+4=0} \atop {12y+2x-4=0}} \right.$

Из второго  уравнения выражаем 2x

2x = 4 - 12y

Подставляем в первое

6(4-12y) + 2y + 4 =0

24 - 72y +2y = -4

-70y = -28

y = 0,4

x = -0,4

Мы получили критическую точку М(-1,4; 0,4).

И у нас только одна критическая точка.

Теперь посмотрим, это точка минимума или максимума.

Найдем вторые производные

$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12;\quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 12;\quad \frac{\partial^2 z}{\partial x\;\partial y} = 2;$

Теперь нужно значение производных в критической точке. Они есть константы. Поэтому у нас получается

А = 12

С = 12

В = 2

AC - B²  = 140 > 0;

A > 0 , значит в точке  M(-0,4;0,4) имеется минимум

z(-0,4; 0,4) = -1,6