Question

1). Дана функция
f(x)=1+8x^2
Найти:
a) Промежутки убывания функции
б) Наибольшее значение функции в отрезке [2;5]
2). Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S=12t-3t^2(м), где t - время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
3). Найдите значение производной функции y=ln(2-x) в точке х0=-1.
4). Составьте уравнение касательной к графику функции y=x+sinx в точке с абциссой х0= - ПИ/2

Answer 1

Ответ:

1). а) Функция убывает на промежутке (-∞; 0].

б) Наибольшее значение функции на отрезке [2;5] равно 201.

2). Через 2 с тело остановится.

3). Значение производной функции y=ln(2-x) в точке х₀=-1 равно $\displaystyle -\frac{1}{3}$.

4). Уравнение касательной к графику функции y=x+sinx в точке с абсциссой х₀= - π/2:  y = x - 1.

Пошаговое объяснение:

1). Дана функция f(x)=1 + 8x²

Найти:

a) Промежутки убывания функции;

б) Наибольшее значение функции в отрезке [2;5].

а) Для нахождения промежутков убывания функции найдем производную, приравняем к нулю, найдем корни.

Отметим их на числовой оси и определим знак производной на промежутках.

• Если "+", то функция возрастает, если "-" - убывает.

f'(x) = 0 + 8 · 2x = 16x

16x = 0

x = 0

$---[0]+++$

⇒ функция убывает на промежутке (-∞; 0].

б) Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке [2;5], найдем значение данной функции на концах отрезка:

f(2) = 1 + 8 · 2² = 33

f(5) = 1 + 8 · 5² = 201

Функция имеет экстремум в точке х = 0 (п.а)). Данная точка не принадлежит данному отрезку.

⇒ Наибольшее значение функции на отрезке [2;5] равно 201.

2). Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S = 12t - 3t² (м), где t - время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

Тело остановится ⇒ скорость равна нулю.

Скорость равна производной от расстояния:

V = S' = 12 - 3 · 2t = 12 - 6t = 6(2 - t)

V = 0

6(2 - t) = 0

t = 2

⇒ Через 2 с тело остановится.

3). Найдите значение производной функции y=ln(2-x) в точке х₀=-1.

Производная сложной функции:

$\displaystyle \boxed { (ln\;u)'=\frac{u'}{u} }$

$\displaystyle y'=\frac{(2-x)'}{2-x} =-\frac{1}{2-x}$

$\displaystyle y'(-1)=-\frac{1}{2-(-1)}=-\frac{1}{3}$

Значение производной функции y=ln(2-x) в точке х₀=-1 равно $\displaystyle -\frac{1}{3}$.

4). Составьте уравнение касательной к графику функции y=x+sinx в точке с абсциссой х₀= - π/2.

Уравнение касательной:

$\displaystyle \boxed {y=f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)}$

$\displaystyle f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2} +sin\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\\\\=-\frac{\pi }{2}-1$

$\displaystyle f'(x) = 1+cosx\\\\f'\left(-\frac{\pi }{2}\right)=1+cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=1$

Составим уравнение касательной:

$\displaystyle y=-\frac{\pi }{2}-1+1\left(x-\left(-\frac{\pi }{2} \right)\right)=\\ \\=-\frac{\pi }{2}-1+x+\frac{\pi }{2}=x-1$

Уравнение касательной к графику функции y=x+sinx в точке с абсциссой х₀= - π/2:

y = x - 1.

#SPJ1