Question

Обчислити об’єм тіл, утворених обертанням фігур, обмежених графіками
функцій. (вісь обертання Ох)
y=x^2; y=1; x=2.

Answer 1

Ответ:

$y=x^2\ ,\ \ x=2\ \ ,\ \ y=1$          

Точки пересечения параболы y=x²  и прямых:

$x^2=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\pm 1\ \ ;\ \ \ y(2)=2^2=4$

Объём тела, образованного вращением заданной области вокруг оси ОХ равен   

$\displaystyle V=\pi \int\limits_1^2\, (x^2)^2\, dx-\pi \int\limits_1^2\, 1^2\cdot dx=\pi \int\limits_1^2\, x^4\, dx-\pi \int\limits_1^2\, dx=\\\\\\=\pi \cdot \frac{x^5}{5}\, \Big|_1^2-\pi \cdot x\, \Big|_1^2=\frac{32\pi }{5}-\frac{\pi}{5}-\pi (2-1)=\\\\\\=\frac{31\pi }{5}-\pi =\frac{26\pi }{5}$  

Ответ:   $V=\dfrac{26\pi }{5}$  (куб.ед.)  .