Question

Помогите решить задачи на производную, интеграл и сходимость рядов

Answer 1

Объяснение:

3.

$y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x} } .\\y'=(\sqrt{\frac{1+x}{1-x} })'=((\frac{1+x}{1-x})^\frac{1}{2})'=\frac{1}{2}*(\frac{1+x}{1-x})^{-\frac{1}{2}} *(\frac{1+x}{1-x}) '=\frac{1}{2}*(\frac{1-x}{1+x})^\frac{1}{2}*\frac{(1+x)'*(1-x)-(1+x)*(1-x)'}{(1-x)^2}=\\ =\frac{1}{2}*\sqrt{\frac{1-x}{1+x} } *\frac{1*(1-x)-(1+x)*(-1)}{(1-x)^2}= \frac{1}{2}*\sqrt{\frac{1-x}{1+x} } *\frac{1-x+1+x}{(1-x)^2}=\frac{1}{2}*\sqrt{\frac{1-x}{1+x} } *\frac{2}{(1-x)^2}=\\=\sqrt{\frac{1-x}{1+x} } *\frac{1}{(1-x)^2} .$

4.

$\int\limits^1_{-4} {\frac{dx}{(3x+5)^3} } .$

ОДЗ: (3х+5)³≠0      3х+5≠0     3х≠-5 |:3        x≠-5/3.

x=-5/3 ∈ [-4;1]    ⇒

$\int\limits^1_{-4} {\frac{dx}{(3x+5)^3} } \in\varnothing.$  

Ответ: интеграл неопределён.

5.

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{2^n*3^{n+1} }=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{2^n*3^{n} *3}=\frac{1}{3}* \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{6^n} }.\\u_n=\frac{nx^n}{6^n} \ \ \ \ \ u_{n+1}=\frac{(n+1)*x^{n+1}}{6^{n+1}} =\frac{(n+1)*x*x^n}{6*6^n} .$

Применяем признак Даламбера:

$\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|= \lim\limits_{n\to\infty}|\frac{(n+1)*x*x^n}{6*6^n}:\frac{n*x^n}{6^n}|=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{(n+1)*x*x^n*6^n}{6*6^n*n*x^n} =\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{(n+1)*x}{6*n}|=\\ =\frac{|x|}{6} \lim\limits_{n\to\infty}|\frac{n+1}{n}|=\frac{|x|}{6}*1=\frac{|x|}{6} < 1.\\ \frac{|x|}{6} < 1\ |*6\\ |x| < 6\\-6 < x < 6.$

$x=-6.\\\frac{1}{3}* \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n*(-6)^n}{6^n} =\frac{1}{3}* \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n*(-1)^n*6^n}{6^n} =\frac{1}{3}* \sum\limits_{n=0}^{\infty}((-1)^n*n) .$

Это знакопеременный ряд.      ⇒    Применяем теорему Лейбница:

$| \lim\limits_{n=\infty}((-1)^n*n)| = \lim\limits_{n=\infty} n =\infty\neq 0\ \ \ \ \ \Rightarrow$

При х=-6 - ряд расходится.

$x=6.\\\frac{1}{3}* \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n*6^n}{6^n} =\frac{1}{3}* \sum\limits_{n=0}^{\infty} n =\infty.\ \ \ \ \ \Rightarrow$

При х=6 - ряд расходится.         ⇒

Ответ: ряд сходится при х∈(-6;6).