Question

розв'язати диференційне рівняння в повних диференціалах

рівняння на прикріпленому фото ​

Answer 1

Ответ:

  $(x^2+siny)\, dx+(1+x\, cosy)\, dy=0$

Проверим, является ли заданное дифф.уравнение, уравнением  в полных дифференциалах .

$P(x,y)=x^2+siny\ \ ,\ \ \ Q(x,y)=1+x\, cosy\\\\\\\dfrac{\partial P}{\partial y}=(x^2+siny)'_{y}=cosy\ \ ,\ \ \ \ \dfrac{\partial Q}{\partial x}=(1+x\, cosy)'_{x}=cosy$

Получили, что  $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ . Поэтому заданное д.у. является д.у. в полных дифференциалах. И можно записать

$\dfrac{\partial F}{\partial x}=x^2+sinx\ \ ,\ \ \ \dfrac{\partial F}{\partial y}=1+x\, cosy$  .

Теперь найдём   $\displaystyle F(x,y)=\int (x^2+siny)\, dx=\frac{x^3}{3}+x\cdot siny+\varphi (y)$  

$\displaystyle \dfrac{\partial F}{\partial y}=\Big(\dfrac{x^3}{3}+x\cdot siny+\varphi(y)\Big)'_{y}=x\cdot cosy+\varphi '(y)\\\\x\cdot cosy+\varphi '(y)=1+x\, cosy\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \varphi '(y)=1\\\\\varphi (y)=\int 1\cdot dy=y+C$

Подставим найденное значение  $\varphi (y)$  в выражение для  $F(x,y)$ :

  $F(x,y)=\dfrac{x^3}{3}+x\cdot siny+y+C$

Ответ: общий интеграл     $\dfrac{x^3}{3}+x\cdot siny+y+C=0$  .