Question

решить все примеры с объяснением

Answer 1

Ответ:

$1) \dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z};$

$2) (-1)^{k} \cdot arcsin \dfrac{1}{3} +\pi k,~k\in\mathbb {Z};(-1) ^{n} \cdot \dfrac{\pi }{6} +\pi n,~n\in\mathbb {Z};$

$3)\pi k,~k\in\mathbb {Z};-\dfrac{\pi }{4} +\pi n, ~n\in\mathbb {Z};$

$4)\dfrac{\pi }{4} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}.$

Пошаговое объяснение:

Решить уравнения:

$1) sin3x+sinx=0$

Воспользуемся формулой

$sin\alpha +sin\beta =2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}$

и получим:

$2sin\dfrac{3x+x}{2} \cdot cos \dfrac{3x-x}{\\2} =0;\\2sin2x\cdot cosx=0|:2;\\sin2x\cdot cosx=0;\\ \left [\begin{array}{l} sin2x = 0, \\ cosx =0;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} 2x = \pi k,~k\in\mathbb {Z}, \\ x =\dfrac{\pi }{2}+\pi n,~n\in\mathbb {Z} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}, \\\\ x =\dfrac{\pi }{2}+\pi n,~n\in\mathbb {Z} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi k}{2} ,~k\in\mathbb {Z}$

$2) 6sin^{2} x-5sinx+1=0$

Пусть $sinx=t,|t|\leq 1$, тогда уравнение принимает вид:

$6t^{2} -5t+1=0;\\D= (-5)^{2} -4\cdot 6\cdot1=25-24=1 > 0;\\\\t{_1}= \dfrac{5-1}{2\cdot6} =\dfrac{4}{12} =\dfrac{1}{3} ;\\\\t{_2}= \dfrac{5+1}{2\cdot6} =\dfrac{6}{12} =\dfrac{1}{2}$

Возвращаясь к замене, получим

$1) sinx=\dfrac{1}{3} ;\\\\x=(-1)^{k} \cdot arcsin \dfrac{1}{3} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

$2) sinx=\dfrac{1}{2} ;\\\\x=(-1)^{k} \cdot arcsin \dfrac{1}{2} +\pi n,~n\in\mathbb {Z};\\\\x=(-1) ^{n} \cdot \dfrac{\pi }{6} +\pi n,~n\in\mathbb {Z}$

$3) sin^{2} x+sinx\cdot cosx=0;\\sinx( sinx+cosx)=0;$

$1) sinx=0;\\x=\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

$2) sinx+cosx=0|:cosx\neq 0;\\tgx+1=0;\\tgx=-1;\\x=-\dfrac{\pi }{4} +\pi n, ~n\in\mathbb {Z}$

$4) 2sinx\cdot sin\left(\dfrac{\pi }{2} -x\right)=1$

Воспользуемся формулами приведения и получим

$2sinx\cdot cosx=1$

По формуле синуса двойного угла

$sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha$

Тогда уравнение принимает вид:

$sin2x=1;\\\\2x=\dfrac{\pi }{2} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\x=\dfrac{\pi }{4} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

#SPJ1