Question

Пожалуйста решите неравенство 3•4^x-7•2^x+1-5 меньше 0

Answer 1

Ответ:

x∈(-∞; log₂5)

Объяснение:

3·4ˣ-7·2·2ˣ-5<0

3·4ˣ-14·2ˣ-5<0

2ˣ=t, t>0⇒3t+1>0

3t²-14t-5<0

3t²-15t+t-5<0

3t(t-5)+(t-5)<0

(t-5)(3t+1)<0

3t+1>0⇒t-5<0⇒0<t<5⇒2ˣ<5⇒x<log₂5

Answer 2

Ответ:

$3\cdot 4^{x}-7\cdot 2^{x+1}-5 < 0\\\\3\cdot (2^{x})^2-7\cdot 2\cdot 2^{x}-5 < 0$

Замена переменной:   $t=2^{x} > 0$  .

$3t^2-14t-5 < 0\\\\D=(b/2)^2-ac=7^2+3\cdot 5=64\ ,\ \ t_1=\dfrac{7-8}{3}=-\dfrac{1}{3}\ ,\ x_2=\dfrac{7+8}{3}=5\\\\3(t+\dfrac{1}{3})(t-5) < 0$

Метод интервалов решения неравенств .

Знаки функции:   $+++(-\frac{1}{3})---(5)+++$      ,    $-\dfrac{1}{3} < \, t\, < 5$  .

Так как ранее было указано, что  $t > 0$  , то   $0 < t < 5$  .

$0 < 2^{x} < 5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0 < 2^{x} < 2^{log_25}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x < log_25$

Ответ: $\boldsymbol{x\in (-\infty \, ;\, log_25\ )}$  .