Question

Срочно!!!!!!
найдите в градусах сумму корней уравнения (ctg x - √3 cos(π/2 + x) = 0, принадлежащих интервалу (0°; 270°)​

Answer 1

Найдите в градусах сумму корней уравнения ctg(x) - √3 cos((π/2) + x) = 0, принадлежащих интервалу (0°; 270°).

Так как cos((π/2) + x) = -sin(x) и ctg(x) = cos(x)/sin(x), то уравнение примет вид:

(cos(x)/sin(x)) + √3*sin(x) = 0,

cos(x) + √3*sin²(x) = 0,

cos(x) + √3(1 - cos²(x)) = 0,

cos(x) + √3 - √3*cos²(x)) = 0.

Пусть cos(x) = t, получаем квадратное уравнение

√3t² - t – √3 = 0.

D = 1 - 4*√3*(-√3) = 13, t(1) = (1 - √13)/(2√3), t(2) = (1 + √13)/(2√3).

Отсюда находим переменную х по формуле

cos(x) = a ⇔ x = ± arccos(a) + 2nπ, n = 0, 1 ... ∈ Z

х(1) = ±arccos((1 - √13)/(2√3)) + 2nπ,

х(2) = ±arccos((1 + √13)/(2√3)) + 2nπ, но так как аргумент больше 1,  то это решение отбрасываем.

Получаем значения переменной х при разных значениях n в заданном диапазоне.

n = 0, x = arccos((1 - √13)/(2√3)) = 138,777642°.

n = 1, x = -arccos((1 - √13)/(2√3)) + 2*1*π = -138,777642° + 360° = 221,22235°.

Сумма их равна 360 градусов.