Question

Помогите пожалуйста срочно !!!

Answer 1

Ответ:

Промежутку $\left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right]$ принадлежат 10 корней.

Объяснение:

Решить тригонометрическое уравнение:

$tg\; 2x\cos 3x+\sin 3x=\sqrt{2}\sin 5x$

Используем тригонометрические формулы:

$tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\cos 3x+\sin 3x=\sqrt{2}\sin 5x$

$\dfrac{\sin 2x\cos 3x+\sin 3x\cos 2x}{\cos 2x}=\sqrt{2}\sin 5x$

$\dfrac{\sin 5x}{\cos 2x}=\sqrt{2}\sin 5x$

Домножим обе части на cos 2x ≠ 0.

$\sin 5x=\sqrt{2}\sin 5x\cos 2x$

$\sin 5x-\sqrt{2}\sin 5x\cos 2x=0$

$\sin 5x(1-\sqrt{2}\cos 2x)=0$

$\sin 5x=0$   или   $1-\sqrt{2}\cos 2x=0$

1) $\sin 5x=0$

$5x=\pi n,\; \: n\in Z$

$x=\dfrac{\pi n}{5} ,\; \: n\in Z$

Промежутку $\left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right]$ принадлежат следующие корни из этой группы корней:

$-\dfrac{\pi }{5};\; 0;\; \dfrac{\pi }{5};\; \dfrac{2\pi }{5};\; \dfrac{3\pi }{5};\;\dfrac{4\pi }{5};\; \pi$

Всего 7 корней.

2)  $1-\sqrt{2}\cos 2x=0$

$\cos 2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2x=\pm \dfrac{\pi }{4}+2\pi k,\; \: k\in Z$

$x=\pm \dfrac{\pi }{8}+\pi k,\; \: k\in Z$

Промежутку $\left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right]$ принадлежат следующие корни из этой группы корней:

$\dfrac{\pi }{8};\; -\dfrac{\pi }{8};\; \dfrac{7\pi}{8}$

Всего 3 корня.

Итак, промежутку $\left[-\dfrac{\pi }{4};\pi \right]$ принадлежат 10 корней.