Question

Найдите точку минимума функции y=(2x^2+24x-24)e^(4-x)

Answer 1

Ответ:

$x_{ min} = - 12$

Объяснение:

$y = (2 {x}^{2} + 24x - 24){ \cdot} {e}^{4 - x} \\ x_{ min} = {?}$

Точка минимума функции - такое значение $x_0$, при котором $f(x) \geqslant f(x_0) \forall {x}$,в окрестностях этой точки

Характеризуется тем, что в ней убывание функции сменяется возрастанием, и соответственно, производная функции в этой точке (если она в ней определена) меняет знак с "-" на "+"

Найдем производную у'(х)

$y'(x) = \big( (2x^2+24x-24)e^{4-x}\big)' = ...$

классическая формула: производная произведения функции

$(u{\cdot}v)' = u'v + uv'$

$\small{y'(x) = } (2x^2{+}{24x-}24)' {\cdot}e^{4-x} {+}({2x^2+}24x{-}24) {\cdot} (e^{4-x} )' = \\ \small{ = } (2{ \cdot}2x^{1} {+}{24x ^{0} -}0) {\cdot}e^{4-x} {+}({2x^2+}24x{-}24) {\cdot} (e^{4-x} )' = \\ \small{= } (4x{+}24) {\cdot}e^{4-x} {+}({2x^2+}24x{-}24) {\cdot} ( - e^{4-x} ) = \\ =(e^{4-x} )(4x + 24 - 2 {x}^{2} - 24x - 24) = \\ =(e^{4-x} )(- 2 {x}^{2} - 20x + 48) = \\ = ( - 2e^{4-x} )( {x}^{2} + 10x - 24) = \\ = ( - 2e^{4-x} )( {x} + {12})(x - 2)$

Нули производной:

x = -12; x = 2

Отметим на числовой прямой (см. рис.)

Очевидно, что производная функции меняет знак с "-" на "+" на точке х = -12 => это и есть точка минимума функции

$x_{ min} = - 12$

Это и есть ответ. Значение функции в точке нас не просили найти