Question

Найдите площадь ограниченой функцией: y=-\sqrt{-91-x^{2}+20x } +1 и осью OX.

Answer 1

Ответ:

$y=-\sqrt{-91-x^2+20x}+1\ \ ,\ \ y=0\ -\ os\flat \ OX$  

Построим область . Преобразуем уравнение кривой .

$y=-\sqrt{-(x^2-20x+91)}+1\ \ ,\ \ \ y=-\sqrt{-(\, (x-10)^2-9\, )}+1\ \ ,\\\\y-1=-\sqrt{9-(x-10)^2}\ \ \to \ \ y-1 < 0\ ,\ \ y < 1\ ,\\\\(y-1)^2=9-(x-10)^2\ \ ,\\\\(x-10)^2+(y-1)^2=9$

Последнее уравнение - это уравнение окружности с центром в точке С(10;1)  и радиуса  R=3 .  

Значит,  уравнение  $y-1=-\sqrt{(9-(x-10)^2}$  - это уравнение полуокружности , расположенной ниже прямой у=1 .

Точки пересечения с осью ОХ:

$y=0\ \ \to \ \ -1=-\sqrt{(9-(x-10)^2}\ \ ,\ \ 9-(x-10)^2=1\ \ ,(x-10)^2=8\ ,\\\\x-10=\pm 2\sqrt2\ \ ,\ \ x=10\pm 2\sqrt2\ \ ,\\\\x_1\approx 7,17\ \ ,\ \ x_2=\approx 12,83$  

 Так как область расположена ниже оси ОХ, то в формуле перед определённым интегралом надо поставить знак минус .

$\displaystyle S=-\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}(\, 0-(-\sqrt{-91-x^2+20x}+1)\, )dx=\\\\\\=-\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}(\, \sqrt{-91-x^2+20x}-1)\, )dx=\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}(\, 1-\sqrt{-91-x^2+20x}+1\, )\, dx=\\\\\\=\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}\, 1\cdot dx-\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}\sqrt{-91-x^2+20x}\, dx=\\\\\\=x\, \Big|_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}-\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}\sqrt{9-(x-10)^2}\, dx=$

$\displaystyle =10+2\sqrt2-(10-2\sqrt2)-\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}\sqrt{9-(x-10)^2}\, dx=I$  

Вычислим отдельно последний интеграл .

$\displaystyle \int\limits \sqrt{9-(x-10)^2}\, dx=\Big[\ x-10=3sint\ ,\ dx=3\, cost\, dx\ ,\ t=arcsin\frac{x-10}{3},\\\\9-(x-10)^2=9-9sin^2t=9(1-sin^2t)=9\, cos^2t\ \Big]=\\\\=\int \sqrt{9\, cos^2t}\cdot 3\, cost\, dt=\int 3\, cost\cdot 3\, cost\, dt=9\int cos^2t\, dt=\\\\=\frac{9}{2}\int (1+cos2t)\, dt=\frac{9}{2}\cdot \Big(t+\frac{1}{2}\, sin2t\Big)=\\\\=\frac{9}{2}\cdot \Big(arcsin\frac{x-10}{3}+\frac{1}{2}\cdot sin(2arcsin\frac{x-10}{3})\Big)$  

$\displaystyle I=4\sqrt2-\int\limits_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}\sqrt{9-(x-10)^2}\, dx=\\\\\\=4\sqrt2-\frac{9}{2}\cdot \Big(arcsin\frac{x-10}{3}+\frac{1}{2}\cdot sin(2arcsin\frac{x-10}{3})\Big)\Big|_{10-2\sqrt2}^{10+2\sqrt2}=\ 4\sqrt2-\\\\\\-\frac{9}{2}\cdot \Big(arcsin\frac{2\sqrt2}{3}+arcsin\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{1}{2}\cdot sin(2arcsin\frac{2\sqrt2}{3})+\frac{1}{2}\,sin(2arcsin\frac{2\sqrt2}{3})\Big)=\\\\\\=4\sqrt2-\frac{9}{2}\cdot \Big(2arcsin\frac{2\sqrt2}{3}+sin(2arcsin\frac{2\sqrt2}{3})\Big)=$

$\approx 4\sqrt2-\dfrac{9}{2}\cdot \Big(2\cdot 1,2309+sin(2,4618)\Big)=4\sqrt2-1,2309+4,5\cdot 0,6286=\\\\=4\cdot 1,4142+1,5978\approx 5,6568+1,5978=7,2546$