Question

Найти число решений уравнения ctg2x = √3 удовлетворяющих условию 0 <x<3 ​

Answer 1

$\mathrm{ctg}\,2x =\sqrt{3}$

$2x=\mathrm{arcctg}\,\sqrt{3}+\pi n$

$2x=\dfrac{\pi }{6} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Выполняем отбор корней:

$0 < \dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{2} < 3$

$0-\dfrac{\pi }{12} < \dfrac{\pi n}{2} < 3-\dfrac{\pi }{12}$

$-\dfrac{1}{12} < \dfrac{n}{2} < \dfrac{3}{\pi } -\dfrac{1}{12}$

$-\dfrac{1}{6} < n < \dfrac{6}{\pi } -\dfrac{1}{6}$

Оценим правую часть следующим образом:

Во-первых:

$0.75\pi < 3.14 < \pi$

$\Rightarrow 1.5\pi < 6.28 < 2\pi$

$\Rightarrow 1.5\pi < 6 < 2\pi$

$\Rightarrow \dfrac{1.5\pi }{\pi } < \dfrac{6}{\pi } < \dfrac{2\pi }{\pi }$

$\Rightarrow 1.5 < \dfrac{6}{\pi } < 2$

Во-вторых:

$0 < \dfrac{1}{6} < 0.5$

$\Rightarrow -0.5 < -\dfrac{1}{6} < 0$

Значит:

$1.5 -0,5 < \dfrac{6}{\pi }- \dfrac{1}{6} < 2-0$

$1 < \dfrac{6}{\pi }- \dfrac{1}{6} < 2$

Тогда, полученному неравенству $-\dfrac{1}{6} < n < \dfrac{6}{\pi } -\dfrac{1}{6}$ удовлетворяют два целых числа: 0 и 1. Значит, решений, удовлетворяющих заданному условию - два.

Ответ: 2