Question

У правильній чотирикутній призмі через середини двох суміжних
сторін основи проходить площина, яка утворює з основою призми кут α і
перетинає три бічних ребра. Знайти площу перерізу, якщо сторона основи
призми А.

Answer 1

Ответ:

Площадь сечения равна   $\displaystyle \frac{7a^2}{8\;cos\alpha }$ .

Объяснение:

В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проходит плоскость, которая образует с основанием призмы угол α и пересекает три боковых ребра. Найти площадь сечения, если сторона основания призмы А.

Построим сечение.

• В основании правильной призмы лежит квадрат.

Отметим середины сторон АВ и AD и поставим точки К и Е соответственно. Соединим их.

Проведем диагонали АС и BD.

КЕ ∩ АС = Н.

Построим угол с вершиной в точке Н, равный α.

НР ∩ СС₁ = М.

Строим сечение, проходящее через три точки.

Продлим КЕ до пересечения  с СВ и CD  и поставим точки S и N  соответственно.

S ∈ BB₁C₁C;  M ∈ BB₁C₁C ⇒ S и M соединяем;

SM ∩ BB₁ = X;

N ∈ DD₁C₁C;  M ∈ DD₁C₁C ⇒ N и M соединяем;

NM ∩ DD₁ = T;

X ∈ AA₁B₁B;  K ∈ AA₁B₁B ⇒ X и K соединяем;

T ∈ AA₁D₁D;   E ∈ AA₁D₁D ⇒ T и E соединяем;    

EKXMT - искомое сечение.

Сечение представляет пятиугольник, состоящий из трапеции ЕКХТ и треугольника ХМТ.

⇒ S( EKXMT) = S(ЕКХТ) + S(ХМТ)      

1. Рассмотрим ΔABD - прямоугольный.

AD = AB = a (условие)

По теореме Пифагора найдем BD:

BD² = AD² + AB² = 2a²

BD = a√2

ЕК - средняя линия ΔАВD.

• Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.

⇒ $\displaystyle EK = \frac{a\sqrt{2} }{2}$ - меньшее основание ЕКХТ.

2. Рассмотрим ΔНРО - прямоугольный.

∠РНО = α (условие).

• Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.

⇒ $\displaystyle AO = OC = \frac{a\sqrt{2} }{2}$

• Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.

⇒ $\displaystyle AH=HO=\frac{a\sqrt{2} }{4}$

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle cos\;\alpha =\frac{HO}{HP} \\\\HP = \frac{HO}{cos\;\alpha }=\frac{a\sqrt{2} }{4\;cos\;\alpha }$  - высота ЕКХТ.

ХТ = BD = a√2 - большее основание ЕКХТ.             

3. Найдем площадь трапеции.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

  $\displaystyle S(EKXT)=\frac{EK+XT}{2}\cdot{HP}\\=\\\left(\frac{a\sqrt{2} }{2} +a\sqrt{2}\right):2\cdot{\frac{a\sqrt{2} }{4\;cos\;\alpha } } =\\\\=\frac{3a\sqrt{2} }{4}\cdot{\frac{a\sqrt{2} }{4\;cos\;\alpha } } =\frac{3a^2}{8\;cos\;\alpha }$

4. Рассмотрим ΔНМС - прямоугольный.

НС = НО + ОС

$\displaystyle HC= \frac{a\sqrt{2} }{4}+\frac{a\sqrt{2} }{2}=\frac{3a\sqrt{2} }{4}$

$\displaystyle cos\;\alpha =\frac{HC}{HM} \\\\HM=\frac{HC}{cos\;\alpha } =\frac{3a\sqrt{2} }{4\;cos\;\alpha }$

Тогда РМ = НМ - НР

$\displaystyle PM =\frac{3a\sqrt{2} }{4\;cos\alpha } -\frac{a\sqrt{2} }{4\;cos\alpha } =\frac{a\sqrt{2} }{2\;cos\alpha }$

5. Найдем площадь ΔХМТ.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

$\displaystyle S(XMT)=\frac{1}{2}XT\cdot{PM} =\\\\=\frac{1}{2}\cdot{a} \sqrt{2} \cdot{\frac{a\sqrt{2} }{2\;cos\alpha } }=\frac{a^2}{2\;cos\alpha }$

6. Теперь можем найти площадь сечения:

$\displaystyle S(EKXMT) = \frac{3a^2}{8\;cos\alpha }+\frac{a^2}{2\; cos\alpha }=\\ \\ =\frac{7a^2}{8\;cos\alpha }$

Площадь сечения равна   $\displaystyle \frac{7a^2}{8\;cos\alpha }$ .

#SPJ1

Answer 2

MN - средняя линия BAD

Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.

Площадь MAN равна 1/4 площади BAD и 1/8 площади ABCD.

Тогда площадь MBCDN равна 7/8 площади ABCD.

S MBCDN = 7/8 a^2

Прямая призма, боковые ребра перпендикулярны основанию.

MBCDN является проекцией сечения MEFGN на плоскость основания.

Угол между плоскостью сечения и основанием равен α, отношение проекции к фигуре равно cosα.

S MEFGN = S MBCDN /cosα = 7/8 a^2 /cosα