Question

Какие углы х можно увеличить в 4 раза так, что их синусы окажутся равными?

Answer 1

После увеличения угла $x$ в 4 раза мы получим угол $4x$. По условию их синусы равны. Составляем уравнение:

$\sin x=\sin 4x$

$\sin x-\sin 4x=0$

$2\sin \dfrac{x-4x}{2} \cos \dfrac{x+4x}{2}=0$

$2\sin\left(- \dfrac{3x}{2}\right) \cos \dfrac{5x}{2}=0$

$-2\sin\dfrac{3x}{2} \cos \dfrac{5x}{2}=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение распадается на два:

$\sin\dfrac{3x}{2} =0\Rightarrow \dfrac{3x}{2}=\pi n\Rightarrow x_1=\dfrac{2\pi n}{3} ,\, n\in\mathbb{Z}$

$\cos \dfrac{5x}{2}=0\Rightarrow \dfrac{5x}{2}=\dfrac{\pi }{2} +\pi n\Rightarrow x_2=\dfrac{\pi }{5} +\dfrac{2\pi n}{5} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{2\pi n}{3} ;\ \dfrac{\pi }{5} +\dfrac{2\pi n}{5} ,\ n\in\mathbb{Z}$