Question

Диференціювати $\frac{ 7\sqrt[3]{x} - (3x + 6)}{\sqrt[3]{x} }$

Answer 1

Відповідь:

$\frac{2(-1-x)}{\sqrt[3]{x^4} }$

Покрокове пояснення:

Для диференціювання даного прикладу використаємо наступні формули:

$(\frac{u}{v} )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$\sqrt[n]{x} =x^\frac{1}{n}$

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Перепишу, замінивши корені відповідними степенями

$y=\frac{7\sqrt[3]{x}-3x+6 }{\sqrt[3]{x} } =\frac{7x^{\frac{1}{3} }-3x+6 }{x^{\frac{1}{3} } }$

Диференціюю по правилу диференціювання частки:

$y'=\frac{(7x^{\frac{1}{3} }-3x+6)'x^{\frac{1}{3} } -(7x^{\frac{1}{3} }-3x+6)(x^{\frac{1}{3} } )'}{(x^{\frac{1}{3} })^2 }=\frac{(7*\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} }-3)x^{\frac{1}{3} } -(7x^{\frac{1}{3} }-3x+6)(\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} } )}{x^{\frac{2}{3} } }=$

$=\frac{(\frac{7}{3} x^{-\frac{2}{3} }-3)x^{\frac{1}{3} } }{x^{\frac{2}{3} } } -\frac{(7x^{\frac{1}{3} }-3x+6)(\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} } )}{x^{\frac{2}{3} } } =(\frac{7}{3} x^{-\frac{2}{3} }-3)x^{\frac{1}{3} -\frac{2}{3} } -(7x^{\frac{1}{3} }-3x+6)(\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3} -\frac{2}{3} } )=\\=(\frac{7}{3} x^{-\frac{2}{3} }-3)x^{-\frac{1}{3} } -(7x^{\frac{1}{3} }-3x+6)(\frac{1}{3} x^{-\frac{4}{3} )=$

$=\frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3} -\frac{1}{3} } -3x^{-\frac{1}{3} }-\frac{7}{3} x^{\frac{1}{3} -\frac{4}{3} }+x^{1-\frac{4}{3} }-2x^{-\frac{4}{3} }=\frac{7}{3}x^{-1} -3x^{-\frac{1}{3} }-\frac{7}{3} x^{-1}+x^{-\frac{1}{3} }-2x^{-\frac{4}{3} }=\\=-2x^{-\frac{4}{3} }-2x^{-\frac{1}{3} }=2x^{-\frac{4}{3} }(-1-x)=\frac{2(-1-x)}{\sqrt[3]{x^4} }$