Question

$2^{\frac{6}{x^2+x+1} }-a*2^{\frac{x^2+x+4}{x^2+x+1} }+10*a-185 \ \textless \ 0$

Найдите значение параметра а, при которых неравенство выполняется при всех x

Answer 1

Ответ:

71/22 < a ≤ 23

Объяснение:

Сделаем замену переменной.

Поскольку

$\dfrac{x^2+x+4}{x^2+x+1}=\dfrac{(x^2+x+1)+3}{x^2+x+1}=1+\dfrac{3}{x^2+x+1}\\\\2^{\frac{x^2+x+4}{x^2+x+1}}=2\cdot2^{\frac{3}{x^2+x+1}}$

выберем

$t=2^{\frac3{x^2+x+1}};\quad 2^{\frac6{x^2+x+1}}=\left(2^{\frac3{x^2+x+1}}\right)^2=t^2$

Рассмотрим, какие значения может принимать t.

$x^2+x+1=\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac12+\dfrac14\right)+\dfrac34=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\geqslant\dfrac34\\0 < \dfrac{1}{x^2+x+1}\leqslant\dfrac43\\0 < \dfrac{3}{x^2+x+1}\leqslant4\\1 < 2^{\frac{3}{x^2+x+1}}\leqslant16$

Итак, достаточно выяснить, при каких значениях a для каждого t (1 < t ≤ 16) выполнено неравенство t² - 2at + 10a - 185 < 0

При каждом фиксированном a график многочлена в левой части — парабола с ветвями, направленными вверх. На любом фиксированном отрезке максимальное значение достигается в одном из концов, так что можно требовать, чтобы значение в точке t = 1 было неположительным, а в точке 16 — строго отрицательным (см. рисунок)

Подставляем значения:

— в точке t = 1:

1 - 2a + 10a - 185 ≤ 0

8a ≤ 184

a ≤ 23

— в точке t = 16:

256 - 32a + 10a - 185 < 0

71 - 22a < 0

22a > 71

a > 71/22

Оба условия должны выполняться одновременно.

Значит, 71/22 < a ≤ 23.

#SPJ1