У трикутнику АВС АВ=АС, кут ВАС=80°. Усередині трикутника взята така точка М, що кут МВС=10°, кут МСВ=30°. Знайдіть кут АМВ.
Ответы
Ответ:
Угол АМВ равен 70°.
Объяснение:
В треугольнике АВС АВ = АС, угол ВАС=80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что угол МВС = 10°, угол МСВ = 30°. Найдите угол АМВ.
Дано: ΔАВС;
АВ = АС;
∠МВС = 10°; ∠МСВ = 30°.
Найти: ∠АМВ.
Решение:
1. Рассмотрим ΔАВС.
АВ = АС (условие)
⇒ΔАВС - равнобедренный.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
⇒ ∠АВС = ∠АСВ
- Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠АВС = ∠АСВ = (180° - 80°) : 2 = 50°
2. На стороне АВ построим равносторонний ΔАКВ.
Соединим точки С и К.
Рассмотрим ΔАКС.
АВ = АС (условие)
АВ = АК (построение)
⇒ АС = АК
⇒ ΔАКС - равнобедренный.
∠КСА = ∠АСВ - ∠ВСМ = 50° - 30° = 20°
∠КСА = ∠АКС = 20°
3. Продлим СМ до пересечения с АВ и поставим точку Е.
Соединим Е и К.
Рассмотрим ΔАКЕ.
∠АЕК = 180° - ∠АКЕ - ∠КАЕ = 180° - 20° - 60° = 100°
Рассмотрим ΔАЕС.
∠АЕС = 180° - ∠ЕАС - ∠АСЕ = 180° - 80° - 20° = 80°
∠АЕК + ∠АЕС = 100° + 80° = 180°
⇒ ∠АЕК и ∠АЕС - смежные.
Значит точки К, Е, М, С лежат на одной прямой.
4. Рассмотрим ΔКВМ.
∠МКВ = ∠АКВ - ∠АКЕ = 60° - 20° = 40°
- Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
∠ВМК = ∠МВС + ∠ВСМ = 10° + 30° = 40°
- Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
⇒ КВ = ВМ
5. Рассмотрим ΔАВМ.
ВМ = КВ (п.4)
АВ = КВ (построение)
⇒ ΔАВМ - равнобедренный.
⇒ ∠ВАМ = ∠АМВ.
∠ АВМ = ∠АВС - ∠МВС = 50° - 10° = 40°
⇒ ∠ВАМ = ∠АМВ = (180° - 40°) : 2 = 70°
Угол АМВ равен 70°.
#SPJ1
