четырехугольник ABCD таков, что AB= BC и BAD= ABC. На продолжении стороны BC, за точку B, взята точка E, так что CE=AD. Точка K симметрична точке E относительно AB. Докажите, что DK = AC
Ответы
Ответ:
Равенство DK = AC доказано.
Пошаговое объяснение:
Четырехугольник ABCD таков, что AB = BC и ∠BAD= ∠ABC. На продолжении стороны BC, за точку B, взята точка E, так что CE = AD. Точка K симметрична точке E относительно AB. Докажите, что DK = AC.
Дано: ABCD - четырехугольник;
AB = BC; ∠BAD= ∠ABC;
Е ∈ продолжению ВС за точку В.
CE = AD;
K симметрична точке E относительно AB.
Доказать: DK = AC.
Доказательство:
Найдем треугольники, в которые входят стороны DK и AC.
Это ΔАКD и ΔАЕС, равенство которых надо доказать.
По условию CE = AD.
Докажем, что АЕ = АК.
1. Рассмотрим Δ АЕК.
K симметрична точке E относительно AB.
⇒ АН - серединный перпендикуляр ЕК.
- Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
⇒ АЕ = АК.
Теперь докажем, что ∠АЕС = ∠DAK.
2. Рассмотрим ΔАЕК - равнобедренный (п.1)
АН - медиана, высота.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой.
⇒ ∠ЕАН = ∠НАК.
3. Пусть ∠ЕАН = ∠НАК = α.
∠KAD = ∠BAD - α (1)
4. Рассмотрим ΔАЕВ.
∠АВС - внешний.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
⇒ ∠АЕВ = ∠АВС - α (2)
5. Рассмотрим равенства (1) и (2):
∠KAD = ∠BAD - α
∠АЕВ = ∠АВС - α
∠BAD= ∠ABC (условие)
⇒ ∠KAD = ∠АЕС
ΔАКD = ΔАЕС (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)
⇒ DK = AC ( как соответственные элементы)
Равенство DK = AC доказано.
#SPJ1
