ТочкаP лежить усередині рівнобедреного трикутника ABC(AB=BC),
причому кут ABC=80°, кут PAC=40°, кут ACP=30°. Знайдіть кут BPC.
Ответы
Ответ:
∠PPC=100°
Объяснение:
Точка Р лежит внутри равнобедренного △ABC (AB=BC). ∠ABC=80°, ∠PAC=40°, ∠ACP=30°. Требуется найти ∠BPC.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то
∠BAC=∠BCA=(180°-∠ABC)÷2=(180°-80°)÷2= 50°
∠BCP =∠BCA-∠ACP=50°-30°= 20°,
∠BAP =∠BAC-∠PAC=50°-40°= 10°.
Построим на стороне ABC равносторонний треугольник ABD.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°: ∠DAB=∠ABD=∠ADB=60°.
Проведём диагональ CD в четырёхугольнике ADBC. Так как AB=BC по условию, а BD=AB по построению, то BD= BC. Следовательно △CBD - равнобедренный. ∠BDC=∠BCD=(180°-∠DBC)÷2=(180°-(∠ABD+∠ABC))÷2=(180°-(60°+80°))÷2=20°.
Так как ∠BCP также равен 20°, то точка P лежит на стороне CD.
△ADP.
∠DAP=∠DAB+∠BAP=60°+10°= 70°.
∠ADP=∠ADB-∠BDC=60°-20°= 40°.
Следовательно ∠DPA=180°-∠DAP-∠ADP=180°-70°-40°= 70°.
Таким образом ∠DAP=∠DPA, следовательно △ADP - равнобедренный.
DA=DP - как боковые стороны равнобедренного △ADP. Но:
DA=DB - как стороны равностороннего △ABD. Значит:
DP=DB. => △DBP - равнобедренный, ∠DBP=∠DPB=(180°-∠BDC)÷2=(180°-20°)÷2=80° - как углы при основании равнобедренного треугольника.
∠DPB и ∠BPC - смежные углы. Их сумма равна 180°:
∠BPC=180°-∠DPB=180°-80°= 100°.
