Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА
ОТВЕТ И ОБЪЯСНЕНИЕ

Answer 1

Ответ:

$1+sinx=\sqrt3\, cosx\ \ ,\ \ x\in (\ 0\, ;\, \pi \, )\\\\sinx-\sqrt3\, cosx+1=0\\\\2\, sin\dfrac{x}{2}\cdot cos\dfrac{x}{2}-\sqrt3\Big(cos^2\dfrac{x}{2}-sin^2\dfrac{x}{2}\Big)+\Big( sin^2\dfrac{x}{2}+cos^2\dfrac{x}{2}\Big)=0\\\\\\2\, sin\dfrac{x}{2}\cdot cos\dfrac{x}{2}+(1+\sqrt3)sin^2\dfrac{x}{2}+(1-\sqrt3)cos^2\dfrac{x}{2}=0\ \ \Big|:cos^2\dfrac{x}{2}\ne 0$  

Разделим уравнение на  $cos^2\dfrac{x}{2}\ne 0$  ,  тогда получим квадратное уравнение относительно  $tg\dfrac{x}{2}$  .

$(1+\sqrt3)\cdot tg^2\dfrac{x}{2}+2\, tg\dfrac{x}{2}+(1-\sqrt3)=0\\\\t=tg\dfrac{x}{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (1+\sqrt3)\cdot t^2+2\cdot t+(1-\sqrt3)=0\ \ ,$

$\dfrac{D}{4}=(b/2)^2-ac=1^2-(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(1-3)=3\\\\\\t_1=\dfrac{-1-\sqrt3}{(1+\sqrt3)}=\dfrac{-(1+\sqrt3)}{1+\sqrt3}=-1\ \ ,\\\\\\t_2=\dfrac{-1+\sqrt3}{(1+\sqrt3)}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\dfrac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3\approx 0,27\ \ ,$  

Вернёмся к переменной  х .

$\displaystyle a)\ \ tg\dfrac{x}{2}=-1\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n\ \ ,\ \ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \ ,\ n\in Z\ ;\\\\\\b)\ \ tg\frac{x}{2}=2-\sqrt3\ ,\ \frac{x}{2}=arctg(2-\sqrt3)+\pi k\ ,\ x=2arctg(2-\sqrt3)+2\pi k\ ,\ k\in Z\ ;\\\\\\arctg(2-\sqrt3)=15^\circ =\dfrac{\pi }{12}\ \ \to \ \ \ x=\dfrac{2\pi }{12}+2\pi k\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\ ,\ k\in Z$  

c)  Первая серия корней не входит в интервал  $(\ 0\, ;\, \pi \, )$  .

А из второй серии корней в этот интервал входит $x=\dfrac{\pi }{6}$  .

Ответ:  $x=-\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ ,\ x=\dfrac{\pi }{6}+2\pi k\ \ ,\ n,k\in Z\ ;\ \ x=\dfrac{\pi}{6}\in (\ 0\, ;\, \pi \, )\ .$