Пожалуйста нужно решение с обьяснением. Задача: Произведение простых чисел больших 3 и меньших n имеет сумму цифр 8. Чему может быть равно n (все варианты)
Я нашел что если n от 8 до 11 до будет 5*7=35 3+5=8. Но нужно доказать что это единственные числа
Ответы
Ответ:
8, 9, 10, 11
Пошаговое объяснение:
Среди простых сомножителей обязательно есть 5 (иначе n < 5 и в произведение не войдёт ни одного простого числа), так что произведение точно оканчивается на 5, а сумма остальных цифр равна 3. Поэтому все возможные произведения должны иметь вид (многоточия скрывают любое количество нулей — в том числе и их отсутствие):
- 3...5
- 2...1...5
- 1...2...5
- 1...1...1...5
Если n < 12, то все возможные произведения это 5 = 5 (не подходит), 5 · 7 = 35 (подходит, 8 ≤ n ≤ 11).
Докажем, что при n ≥ 12 решений задачи нет. Если n > 11, то в произведение входит 11, тогда оно делится на 11. Признак делимости на 11:
Число делится на 11, если разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на 11.
Эта разность может быть равна (плюсы и минусы выбираются в каждом случае независимо):
- ±3 ± 5
- ±2 ± 1 ± 5
- ±1 ± 2 ± 5
- ±1 ± 1 ± 1 ± 5
Легко видеть, что все разности по модулю не превосходят 8, так что если они и делятся на 11, то обязательно равны 0. Но, как можно заметить, они нулю равны быть не могут: если в одну из сумм входит 5, то другая должна быть не меньше 5, а она не больше 3.