Question

Натуральні n і m такі що n^2:(m+n) доведіть що m^3:(m+n).

Answer 1

Ответ:

Если n² делится на m + n, то и m³ делится на m + n

Пошаговое объяснение:

Разобраться с делимостью поможет формула разности квадратов: m² - n² = (m + n)(m - n).

По определению A делится на B ≠ 0, если существует такое целое число C, что A = BC. Значит, m² - n² всегда делится на m + n для натуральных m и n.

Запишем m³ как m · m² и попробуем составить разность квадратов:

m³ = m · m² = m (m² - n² + n²) = m (m² - n²) + mn²

1. По доказанному m² - n² делится на m + n, тогда первое слагаемое делится на m + n.
2. n² делится на m + n по условию, тогда и второе слагаемое целится на m + n.
3. Если на m + n делится на каждое из слагаемых, то тогда на него делится и вся сумма.

Доказано!