Question

Скласти канонічне рівняння кривої другого порядку, фокуси якої знаходяться на осі абсцис, а центр (для параболи - вершина) у початку координат:
а) еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет 3/5;
б) гіперболи, якщо уявна вісь дорівнює 16, а ексцентриситет 17/15;
в) параболи, якщо вона симетрична Oy і директрисою є пряма y – 4 = 0;
г) кола, , якщо коло проходить через точку М (–2, 5), а його центр знаходиться в точці
С( –1, 4).

Answer 1

Відповідь:

а)  $\frac{x^2}{25} +\frac{y^2}{16}=1$

б)  $\frac{x^2}{225} -\frac{y^2}{64}=1$

в)  $x^2=-16y$

г)  $(x+1)^2+(y-4)^2=2$

Пояснення:

а) Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, має вигляд:

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1$, де а – довжина великої півосі; b – довжина малої півосі.

Відстань між фокусами дорівнює 6, тоді 2с=6, с=3.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані 2с до великої осі 2а: $e=\frac{c}{a}$

$\frac{3}{5} =\frac{3}{a}$

Звідси а=5

Залежність між параметрами a,b,c виражається співвідношенням:

$a^2-b^2=c^2\\5^2-b^2=3^2\\25-b^2=9\\-b^2=9-25\\b^2=16\\b=4$

Тоді рівняння еліпса буде мати вигляд:     $\frac{x^2}{25} +\frac{y^2}{16}=1$

б) Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі на осі абсцис, має вигляд:

$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2}=1$, де а – довжина дійсної півосі; b – довжина уявної півосі

Уявна вісь дорівнює 16, тоді уявна піввісь b=8

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення півфокусної відстані до її дійсної півосі:

$e=\frac{c}{a}$

Залежність між параметрами а, b, с виражається співвідношенням:

$b^2=c^2-a^2\\c^2=b^2+a^2\\c=\sqrt{b^2+a^2}$

$e=\frac{\sqrt{b^2+a^2}}{a} \\\frac{17}{15} =\frac{\sqrt{8^2+a^2}}{a} \\(\frac{17}{15})^2 =(\frac{\sqrt{64+a^2}}{a} )^2\\\\\frac{289}{225} =\frac{64+a^2}{a^2}\\\\ \frac{289}{225}a^2=64+a^2\\\\\frac{64}{225} a^2=64\\\frac{a^2}{225}=1\\ a^2=225$

a=15

Тоді рівняння гіперболи буде мати вигляд: $\frac{x^2}{225} -\frac{y^2}{64}=1$

с) Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оy, має вигляд:

$x^2=2py$, де р – параметр параболи.

рівняння директриси $y=-\frac{p}{2}$

y-4=0

y=4

$4=-\frac{p}{2}\\ -p=8$

p=-8

Тоді рівняння параболи буде мати вигляд : $x^2=-16y$ або $y=-\frac{x^2}{16}$

г) Рівняння кола з центом у точці С(а,b) і радіусом R має вигляд:

$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

R - це |CM|

CM(-1-(-2);4-5)=CM(1;-1)

$|CM|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Тоді рівняння кола буде мати вигляд: $(x+1)^2+(y-4)^2=2$

#SPJ1