Question

Помогите с геометрией пожалуйста !

Середины сторон выпуклого чстырёхугольника ABCD лежат на окружности. Известно, что AB=1,BC=4,CD=8. Найдите AD.

Answer 1

Ответ:

Сторона AD равна 7 ед.

Объяснение:

Середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD лежат на окружности. Известно, что AB = 1, BC = 4, CD = 8. Найдите AD.

Дано: ABCD - четырёхугольник;

Н, М, Е, К - середины сторон АВ, ВС, CD, AD соответственно;

Н, М, Е, К лежат на Окр.О;

AB = 1, BC = 4, CD = 8.

Найти: AD.

Решение:

1. Рассмотрим ΔDAB.

DК = KA; АH = HB (условие)

⇒ КН - средняя линия ΔDAB.

• Средняя линия треугольника равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.

⇒ КН || DB; КН = $\displaystyle\bf \frac{1}{2}$ DB

Рассмотрим ΔDBC.

BE = EC; CM = MD (условие)

⇒ EM - средняя линия ΔDBC.

⇒ EM || DB; EM =  $\displaystyle\bf \frac{1}{2}$  DB

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ КН || ЕМ;

2. Рассмотрим НЕМК.

КН || ЕМ; КН = ЕМ =  $\displaystyle\bf \frac{1}{2}$  DB (п.1).

• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

⇒ НЕМК - параллелограмм.

Н, М, Е, К лежат на Окр.О (условие)

⇒ НЕМК - вписанный в Окр.О.

• Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.

⇒ ∠КНЕ + ∠ЕМК = 180°; ∠МКН + ∠НЕМ = 180°.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

⇒ ∠КНЕ = ∠ЕМК = 90°; ∠МКН = ∠НЕМ = 90°.

⇒ НЕМК - прямоугольник.

3. Рассмотрим АВСD.

AC и BD диагонали.

НЕ || AC; HE ⊥ НК

Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.

АС ⊥ НК.

НК || BD; HK ⊥ AC

⇒ АС ⊥ BD.

4. Мы получили четыре прямоугольных треугольника:

ΔABP; ΔBPC; ΔDPC; ΔAPD.

По теореме Пифагора выразим квадрат гипотенузы каждого треугольника:

АВ² = РА² + РВ²

ВС² = РВ² + РС²

CD² = РC² + РD²

АD² = РА² + РD²

Заметим, что сумма квадратов противоположных сторон равны.

То есть:

АВ² + CD² = РА² + РВ² + РC² + РD²

ВС² + АD² = РВ² + РС² + РА² + РD²

⇒ АВ² + CD²  = ВС² + АD²

Подставим значения и найдем AD:

1 + 64 = 16 + AD²

AD² = 49

AD = 7.

Сторона AD равна 7 ед.

#SPJ1