Помогите с геометрией пожалуйста !
Середины сторон выпуклого чстырёхугольника ABCD лежат на окружности. Известно, что AB=1,BC=4,CD=8. Найдите AD.
Ответы
Ответ:
Сторона AD равна 7 ед.
Объяснение:
Середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD лежат на окружности. Известно, что AB = 1, BC = 4, CD = 8. Найдите AD.
Дано: ABCD - четырёхугольник;
Н, М, Е, К - середины сторон АВ, ВС, CD, AD соответственно;
Н, М, Е, К лежат на Окр.О;
AB = 1, BC = 4, CD = 8.
Найти: AD.
Решение:
1. Рассмотрим ΔDAB.
DК = KA; АH = HB (условие)
⇒ КН - средняя линия ΔDAB.
- Средняя линия треугольника равна половине длины стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей.
⇒ КН || DB; КН = DB
Рассмотрим ΔDBC.
BE = EC; CM = MD (условие)
⇒ EM - средняя линия ΔDBC.
⇒ EM || DB; EM = DB
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
⇒ КН || ЕМ;
2. Рассмотрим НЕМК.
КН || ЕМ; КН = ЕМ = DB (п.1).
- Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
⇒ НЕМК - параллелограмм.
Н, М, Е, К лежат на Окр.О (условие)
⇒ НЕМК - вписанный в Окр.О.
- Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.
⇒ ∠КНЕ + ∠ЕМК = 180°; ∠МКН + ∠НЕМ = 180°.
- Противоположные углы параллелограмма равны.
⇒ ∠КНЕ = ∠ЕМК = 90°; ∠МКН = ∠НЕМ = 90°.
⇒ НЕМК - прямоугольник.
3. Рассмотрим АВСD.
AC и BD диагонали.
НЕ || AC; HE ⊥ НК
Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.
АС ⊥ НК.
НК || BD; HK ⊥ AC
⇒ АС ⊥ BD.
4. Мы получили четыре прямоугольных треугольника:
ΔABP; ΔBPC; ΔDPC; ΔAPD.
По теореме Пифагора выразим квадрат гипотенузы каждого треугольника:
АВ² = РА² + РВ²
ВС² = РВ² + РС²
CD² = РC² + РD²
АD² = РА² + РD²
Заметим, что сумма квадратов противоположных сторон равны.
То есть:
АВ² + CD² = РА² + РВ² + РC² + РD²
ВС² + АD² = РВ² + РС² + РА² + РD²
⇒ АВ² + CD² = ВС² + АD²
Подставим значения и найдем AD:
1 + 64 = 16 + AD²
AD² = 49
AD = 7.
Сторона AD равна 7 ед.
#SPJ1
![](https://st.uroker.com/files/da7/da7424e3b549f7b8529d6346d3bd86de.png)