Question

Алгебра. Даю 30 баллов.
Чему может быть равно отношение корней уравнения ax^2 + bx + c = 0, если:
3b^2 = 20ac.
Ответ:
$\frac{7 - 2\sqrt{10} }{3}$ или $\frac{7 + 2\sqrt{10} }{3}$


Мне нужно объяснение пути решения.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{7\pm2\sqrt{10}}{3}$

Пошаговое объяснение:

Тут пригодится теорема Виета: если корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равны x₁ и x₂, то x₁ + x₂ = -b/a, x₁ x₂ = c/a.

Видимо, в условии предполагается, что a и c не равны нулю, иначе получится либо уравнения вида c = 0 (решение которого либо любое число, либо нет ни одного решения) или ax² = 0 (одно решение x = 0, если a ≠ 0). Если так, то условие 3b² = 20ac можно разделить на a², получим

$3\left(\dfrac ba\right)^2=20\cdot\dfrac ca$

Применяем теорему Виета:

3 (x₁ + x₂)² = 20 x₁ x₂

3x₁² + 6 x₁ x₂ + 3x₂² = 20 x₁ x₂

3x₁² - 14 x₁ x₂ + 3x₂² = 0

Раз c ≠ 0, то корни не равны нулю. Делим полученное уравнение на x₂²:

$3\cdot\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^2-14\cdot \dfrac{x_1}{x_2}+3=0$

Обозначаем отношение корней за r и получаем обычное квадратное уравнение:

3r² - 14r + 3 = 0

D/4 = 7² - 3 · 3 = 49 - 9 = 40 = 4 · 10 = 2² · 10

$r=\dfrac{7\pm2\sqrt{10}}{3}$