Question

Найдите многочлен f(x) удовлетворяющий условию

Answer 1

Ответ:

1)  Неопределённость вида  ∞/∞ . Предел частного многочленов при

 х--> ∞  равен отношению старших коэффициентов, если многочлены равных степеней . Значит, в заданном примере в числитель можно записать любой многочлен второй степени со старшим коэффициентом, равным 2 .

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^2+x+1}=\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2-5x+7}{x^2+x+1}=\frac{2}{1}=2\\\\\\f(x)=2x^2-5x+7$

2)  Неопределённость  0/0 .  Многочлены раскладываются на множители , причём выделяется в обоих многочленах одинаковый  множитель, который приводил к такой неопределённости . В данном примере это  (х-1) . Затем он сокращается и неопределённость пропадает.

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{x^2-4x+3}=\lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{(x-1)(x-3)}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-9)}{(x-1)(x-3)}=4\\\\\\(x-1)(x-9)=x^2-10x+9\ \ ,\\\\(x-1)\Big |_{x=1}=1-9=-8\ \ ,\ \ \ \ (x-3)\Big|_{x=1}=1-3=-2\ \ ,\ \ \frac{-8}{-2}=4\\\\\\\lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{x^2-4x+3}=\lim_{x \to 1}\frac{x^2-10x+9}{x^2-4x+3}=4\\\\\\f(x)=x^2-10x+9$