Question

Log0,2(x²-4)+log25(9x²)=0
Прошу срочно , если можно поподробнее

Answer 1

Відповідь:

4 и -4

Пояснення:

$log_{0.2}(x^2-4)+log_{25}(9x^2)=0$

Так как 0,2 это $\frac{1}{5}$ воспользуемся свойством степеней $\frac{1}{a^n} =a^{-n}$ и $a=a^1$ перепишем  $\frac{1}{5}$  как $5^{-1}$. А основание второго логарифма 25 как 5², все для того, что бы свести к одинаковому основанию 5.

$log_{5^{-1}}(x^2-4)+log_{5^2}(9x^2)=0$

Теперь воспользуемся таким свойствами логарифмов: $log_{a^n}b=\frac{1}{n} log_{a}b$ и $n*log_ab=log_ab^n$ преобразуем наше выражение:

$\frac{1}{-1} log_{5}(x^2-4)+\frac{1}{2} log_{5}(9x^2)=0\\log_{5}(x^2-4)^{-1}+log_{5}(9x^2)^{\frac{1}{2} }=0$

Опять воспользуемся свойством степеней $\frac{1}{a^n} =a^{-n}$ и $a^\frac{1}{n} =\sqrt[n]{a}$ получим

$log_{5}(\frac{1}{x^2-4} )+log_{5}\sqrt{9x^2} =0\\log_{5}(\frac{1}{x^2-4} )+log_{5}(3|x|)} =0$ (поскольку $\sqrt{x^2} =|x|$)

Опять воспользуемся свойством логарифмов $log_ab+log_ac=log_a(bc)$

$log_{5}((\frac{1}{x^2-4} )*(3|x|))} =0\\log_{5}(\frac{3|x|}{x^2-4} )}=0$

Зная, что $log_a1=0$ получим следующее

$log_{5}(\frac{3|x|}{x^2-4} )}=log_{5}1\\\frac{3|x|}{x^2-4}=1\\3|x|=x^2-4$

Рассмотрим 2 случаи:

1) x ≥ 0

$3x=x^2-4\\x^2-3x-4=0\\D=9-4*(-4)=25\\x_1=\frac{3-5}{2}=-1\\ x_2=\frac{3+5}{2}=4$

Так как x ≥ 0, то нам подходит только ответ х=4

2) х ≤ 0

$-3x=x^2-4\\x^2+3x-4=0\\D=9-4*(-4)=25\\x_1=\frac{-3-5}{2}=-4\\ x_2=\frac{-3+5}{2}=1$

Так как x ≤ 0, то нам подходит только ответ х=-4

( Еще проверим на ОДЗ :

x²-4 = 4²-4=12 > 0

x²-4 = (-4)²-4=12 > 0

9x²=9*4²=144> 0

9x²=9*(-4)²=144> 0

Хорошо, все корни подходят)