Question

Маленький шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной l=100 см, вращают так, что он движется по окружности в горизонталь-ной плоскости. При этом нить образует с вертикалью угол α=60∘. Определите частоту обращения шарика. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2. Ответ округлите до десятых.​

Answer 1

Відповідь:

Частота обращения шарика $\displaystyle0,7\,\,\frac{1}{c}$

Пояснення:

На рисунке показан шарик, подвешенный на нити, который движется по окружности радиуса R в горизонтальной плоскости. При этом нить образует с вертикалью угол 60°. На шарик действуют 2 силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити Tₙ.

Дано: l=100 см=1 м, α=60°, g=10 м/с².

Запишем второй закон Ньютона на каждую ось:

$\displaystyle OX:\qquad T_{n}cos\alpha=mg\\OY:\qquad T_{n}sin\alpha=ma_c$

А центростремительное ускорения равно

$\displaystyle a_c=\omega^2R\\\omega=2\pi \nu\\a_c=4\pi ^2\nu^2R$

Подставим центростремительное ускорения в уравнение с ОУ:

$\displaystyle OX:\qquad T_{n}cos\alpha=mg\\OY:\qquad T_{n}sin\alpha=4m\pi ^2\nu^2R$

Поделим второе уравнение на первое:

$\displaystyle \frac{T_{n}sin\alpha}{T_{n}cos\alpha} =\frac{4m\pi ^2\nu^2R}{mg} \\\frac{sin\alpha}{cos\alpha} =\frac{4\pi ^2\nu^2R}{g}\\tg\alpha=\frac{4\pi ^2\nu^2R}{g}$

Еще преобразовав R = l · sin α , и выразив частоту из выражения получим:

$\displaystyle tg\alpha=\frac{4\pi^2\nu^2lsin\alpha }{g} \\\nu^2=\frac{gtg\alpha }{4\pi^2lsin\alpha } =\frac{g }{4\pi^2lcos\alpha } \\\nu=\sqrt{\frac{g }{4\pi^2lcos\alpha } }$

Теперь, подставив наши значения, подсчитаем ответ:

$\displaystyle \nu=\sqrt{\frac{10 }{4*3,14^2*1*cos60 } }\approx\sqrt{\frac{10}{4*9,86*\frac{1}{2} } }=\sqrt{\frac{10}{19,72} } \approx\sqrt{0,51} \approx0,7\,\,\frac{1}{c}$

#SPJ1