Question

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Даны 10 карточек. На шести из них указана цифра 1, на трѐх – цифра 2, на одной
цифра 3.
Из них случайным образом выбираются две карточки.
(a) Найдите вероятность того, что обе карточки окажутся с цифрой 1.

(b) Найдите вероятность того, что обе карточки окажутся с одинаковыми
цифрами.

Answer 1

Ответ:

a) Вероятность того , что обе карточки окажутся с цифрой 1 равна 1/3

б) Вероятность того, что обе карточки окажутся с одинаковыми цифрами равна 2/5

Пошаговое объяснение:

a) Найдите вероятность того, что обе карточки окажутся с цифрой 1.

Найдем общее число способов достать две карточки из 10

$\displaystyle C_{10}^2 = \dfrac{10!}{(10-2)!\cdot 2!} = 45$

Найдем число способов достать две карточки с единичкой из 6

$C^2 _{6} =\dfrac{6!}{(6-2)!\cdot 2!} = 15$

Находим вероятность того , что  обе карточки окажутся с цифрой 1

$P(A) = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}$

б)   Найдите вероятность того, что обе карточки окажутся с одинаковыми цифрами.

Общее число способов мы уже нашли   45

Теперь берем по 2 карточки с единичками из 6-ти ,   и две карточки с двойками из 3-x ,  а с тройками карточка всего одна , поэтому взять больше одной нельзя .

Выходит что общее число способов взять две одинаковые  карточки равно :
$C^2 _ 6 + C^2 _ 3 = \dfrac{6!}{(6-2)!\cdot 2!} + \dfrac{3!}{(3-2)!\cdot 2!} = 15 + 3 = 18$

Находим вероятность того, что обе карточки окажутся с одинаковыми цифрами.

$P(A) =\dfrac{18}{45} = \dfrac{2}{5}$

Answer 2

Ответ:

Даны 10 карточек . На 6- ти карточках указана цифра "1" , на 3-х - цифра "2" , на одной - цифра 3 .

а) Выбирают 2 карточки из 10-ти .

Это можно сделать   $n=C_{10}^2$  способами . Значит число всевозможных событий равно

$n=C_{10}^2=\dfrac{10\cdot 9}{2!}=\dfrac{10\cdot 9}{2}=5\cdot 9=45$  

Число благоприятствующих событий равно числу способов выбрать 2 карточки из 6-ти с "1" . Это равно

$m=C_{6}^2=\dfrac{6\cdot 5}{2!}=\dfrac{6\cdot 5}{2}=3\cdot 5=15$  

Вероятность того, что обе карточки окажутся с цифрой "1" равна

 $\boldsymbol{P=\dfrac{m}{n}=\dfrac{15}{45}=\dfrac{1}{3}}$  

б)  Если обе карточки должны оказаться с одинаковыми цифрами, то это либо две "1" , либо две "2" . Две карточки с "3" вытянуть не можем, так как всего одна такая карточка .  

Число способов выбрать 2 карточки из 6-ти с "1" мы уже подсчитали , и это 15 способов . Число способов выбрать 2 карточки из 3-х с цифрой "2"  равно  $C_3^2=\dfrac{3\cdot 2}{2!}=\dfrac{3\cdot 2}{2}=3$   .

Тогда число благоприятствующих событий равно  $m=15+3=18$ .

Число всевозможных событий не изменится и равно  n=45 .

А вероятность того, что обе карточки окажутся с одинаковыми

цифрами равна  

  $\bf P=\dfrac{18}{45}=\dfrac{2}{5}=0,4$