Question

100 баллов! срочно! решить неравенство методом интервалов
$2 \sqrt{x} + \sqrt{5 - x} > \sqrt{x + 21}$
​

Answer 1

Ответ : $\boldsymbol{x \in ( 3,2 ~ ; ~ 4 )}$

Объяснение:

$2\sqrt{x} + \sqrt{5-x} > \sqrt{x+21}$

ОДЗ :

$\left \{\begin{array}{l} x \geqslant 0\\ 5-x \geqslant 0 \\ x+21 \geqslant 0 \end{array} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x\geqslant 0\\ x \leqslant 5 \\ x\geqslant -21 \end{array} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x \geqslant 0 \\ x \leqslant 5 \end{array} \Leftrightarrow x \in [0 ~ ; ~ 5 ]$

Возведем в квадрат

$(2\sqrt{x} + \sqrt{5-x} )^2 > (\sqrt{x+21})^2 \\\\ 4x + 4\sqrt{x(5-x)} + 5 -x > x + 21\\\\ 2x -16 > -4\sqrt{5x-x^2} ~~ \big | :( -2 ) \\\\ -x+8 < 2\sqrt{5x-x^2} \\\\ (8-x)^2 < (2\sqrt{5x-x^2} ) ^2\\\\ x^2 - 16 x+64 < 4(5x-x^2) \\\\ 5x^2 -36x + 64 < 0 \\\\ D = 1296 - 1280 = 16 \\\\ x_1 = \cfrac{36 + 4}{10} = 4 \\\\ x_2 = \cfrac{36 - 4}{10} = 3,2$

$5(x-3,2)(x-4) < 0 \\\\ znaki : +++ (3,2) --- (4) +++ > _x$

                         //////

Данный промежуток удовлетворяет  ОДЗ :   $x \in [0 ~ ; ~ 5 ]$

Ответ : $\boldsymbol{x \in ( 3,2 ~ ; ~ 4 )}$

Answer 2

Ответ:

$2\sqrt{x}+\sqrt{5-x} > \sqrt{x+21}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \sqrt{x+21} < 2\sqrt{x}+\sqrt{5-x}$  

В левой части стоит квадратный корень, который неотрицателен . Значит он может быть меньше только положительного выражения . Но сумма квадр. корней тоже неотрицательна . Поэтому условие положительности суммы квадр. корней можно не писать .

ОДЗ:  $\left\{\begin{array}{l}x+21\geq 0\\x\geq 0\\5-x\geq 0\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq -21\\x\geq 0\\x\leq 5\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 0\leq x\leq 5$  

Возведём в квадрат обе части неравенства .

$x+21 < 4x+4\sqrt{x(5-x)}+5-x\\\\4\sqrt{5x-x^2} > x+21-4x-5+x\\\\4\sqrt{5x-x^2} > 16-x\ \ \to \ \ \ 2\sqrt{5x-x^2} > 8-x$

Теперь неравенство будет эквивалентно совокупности двух систем.

$a) \ \left\{\begin{array}{l}5x-x^2\geq 0\\8-x\geq 0\\(2\sqrt{5x-x^2})^2 > (8-x)^2\end{array}\right$        или      $b)\ \ \left\{\begin{array}{l}5x-x^2\geq 0\\8-x < 0\end{array}\right$  

         

$a)\ \ (2\sqrt{5x-x^2})^2 > (8-x)^2\\\\4(5x-x^2) > 64-16x+x^2\\\\20x-4x^2 > 64-16x+x^2\\\\5x^2-36x+64 < 0\ \ ,\ \ D/4=(b/2)^2-ac=324-320=4\ ,\\\\x_1=\dfrac{18-2}{5}=3,2\ ,\ \ x_2=\dfrac{18+2}{5}=4$

 Нашли нули функции  $f(x)=5x^2-36x+64$  .

Решаем неравенство  $5(x-3,2)(x-4) < 0$   методом интервалов. Наносим нули функции на числовую ось и вычисляем знаки на получившихся промежутках . Надо выбрать любое число, принадлежащее интервалу , подставить его в функцию, и определить , какой знак принимает ф-ция в нужном интервале .

Например,

   $x=10:\ \ f(10)=5(\underbrace{10-3,2}_{ > 0})(\underbrace{10-4}_{ > 0}) > 0\\\\x=3,5:\ \ f(3,5)=5(\underbrace{3,5-3,2}_{ > 0})(\underbrace{3,5-4}_{ < 0}) < 0\\\\x=-10:\ \ f(10)=5(\underbrace{-10-3,2}_{ < 0})(\underbrace{-10-4}_{ < 0}) > 0$      

$5(x-3,2)(x-4) < 0\ \ ,\ \ znaki:\ \ +++(3,2)---(4)+++\\\\x\in (\, 3,2\ ;\ 4\ )$

  $5x-x^2\geq 0\ \ \to \ \ x(5-x)\geq 0\ \ ,\ \ x(x-5)\leq 0\ \ \Rightarrow \\\\znaki:\ \ +++[\, 0\,]--[\, 5\,]+++\ \ ,\ \ \ \ x\in [\ 0\ ;\ 5\ ]\\\\\\16-2x\geq 0\ \ \to 16\geq 2x\ \ ,\ \ 2x\leq 16\ \ ,\ \ x\leq 4\ \ \Rightarrow \ \ x\in (-\infty \, ;\, 4\ ]$

$\left\{\begin{array}{l}x\in (\ 3,2\ ;\ 4\ )\\x\in [\ 0\, ;\, 5\, ]\\x\in (-\infty \, ;\, 4\ ]\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \boldsymbol{x\in (\ 3,2\ ;\ 4\ )}$  

$b)\ \ \left\{\begin{array}{l}5x-x^2\geq 0\\8-x < 0\end{array}\right\ \ \left\{ {\begin{array}{l}x\, (5-x)\geq 0\\x > 8\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\in [\ 0\, ;\, 5\, ]\\x\in [\, 8\, ;+\infty \, )\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \bf x\in \varnothing$  

$Otvet:\ \ \boldsymbol{x\in (\ 3,2\ ;\ 4\ )}\ .$