Question

Поясніть як обчислити інтеграл.

Answer 1

Ответ:

Правило раскрытия модуля:   $|\, x\, |=\left\{\begin{array}{l}\ \ x\ ,\ x\geq 0\ ,\\-x\ ,\ x < 0\ .\end{array}\right$  

Разобьём интервал интегрирования на два интервала , где  x≥0  и

где х <0 .  Это будут интервалы  от  -2 до 0  и  от 0  до  3 .

$x\in [-2\, ;\ 0\ ]\ \ \to \ \ \ |\, x\, |=-x\\\\x\in [\ 0\ ;\ 3\ ]\ \ \ \to \ \ \ |\, x\, |=x$  

По свойству определённого интеграла, его можно представить как сумму двух интегралов.

$\displaystyle \int\limits_{-2}^3\, (2-|\, x\, |)\, dx=\int\limits_{-2}^0\, (2-(-x))\, dx+\int\limits_{0}^3\, (2-x)\, dx=\\\\\\=\int\limits_{-2}^0\, (2+x)\, dx+\int\limits_{0}^3\, (2-x)\, dx=\dfrac{(2+x)^2}{2}\, \Big|_{-2}^0+\frac{-(2-x)^2}{2}\, \Big|_0^3=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot (2^2-0^2)-\frac{1}{2}\cdot ((-1)^2-2^2)=\frac{1}{2}\cdot 4}-\frac{-3}{2}=2+1,5=\boxed{\bf 3,5}$  

Применили формулу  $\displaystyle \int (kx+b)^{n}\, dx=\frac{1}{k}\cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1}+C$   .  

Answer 2

Вітаю. До Вашої уваги наступний спосіб розв'язання завдання

Відповідь: 3,5.