Question

Точка K рухається по прямій 6x-8y-17=0 Якою буде мінімальна відстань від точки
K до нерухомої точки P (3;-5)?
d=

Answer 1

Мінімальна відстань від точки до прямої — це перпендикуляр, тому K має бути основою перпендикуляра від точки K на пряму 6x-8y-17=0.

Знайдемо кутовий коефіцієнт (далі — КК) заданої прямої:

$6x-8y-17=0\\8y=6x-17\\y=\dfrac{6}{8}x-\dfrac{17}{8}=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{17}{8}$

КК перпендикулярних прямих пов'язані співвідношенням $k_1 \cdot k_2=-1$, тому КК перпендикуляра дорівнює:

$\dfrac{3}{4} \cdot k=-1\\k=-\dfrac 43$

Рівняння прямої з КК $k$, яка проходить через точку $P(x_0; y_0)$, має вигляд:

$y=k(x-x_0)+y_0\\y=-\dfrac 43(x-3)-5$

Щоб знайти координати точки K, складемо систему з рівнянь двох прямих:

$\begin{cases}y=-\dfrac 43(x-3)-5\\6x-8y-17=0\end{cases}\\6x-8 \cdot \left(-\dfrac 43(x-3)-5\right)-17=0\\6x+8 \cdot \left(\dfrac 43(x-3)+5\right)-17=0\\6x+\dfrac{32}{3}(x-3)+40-17=0\\6x+\dfrac{32}{3}x-32+23=0\\6x+\dfrac{32}{3}x=9\\18x+32x=27\\50x=27\\\\x=\dfrac{27}{50}\\6 \cdot \dfrac{27}{50}-8y=17\\8y=3 \cdot \dfrac{27}{25}-17\\8y=-\dfrac{344}{25}\\y=-\dfrac{43}{25}$

Итак, координаты точки $K\left(\dfrac{27}{50};-\dfrac{43}{25}\right)$. Найдём |PK|:

$|PK|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{\left(3-\dfrac{27}{50}\right)^2+\left(-5+\dfrac{43}{25}\right)^2}=\\=\dfrac{41}{10}=4{,}1.$

Відповідь: 4,1 од.