Question

100 баллов! срочно! решить уравнение!
$\sqrt[3]{ {(2 - x)}^{2} } + \sqrt[3]{ {(7 + x)}^{2} } - \sqrt[3]{(7 + x)(2 - x)} = 3$
​

Answer 1

Ответ: x₁ = 1 ; x₂ = -6

Объяснение:

$\displaystyle\sqrt[3]{(2-x)^2} + \sqrt[3]{(7+x)^2} - \sqrt[3]{(7+x)(2-x)} = 3$

Сделаем замену

$\sqrt[3]{2-x} = a ~~ , ~~ \sqrt[3]{7+x} = b$

$a^2 - ab + b^2 = 3 ~~ \big |\cdot (a+b) \\\\ a^3 + b^3 = 3 (a+b)$

Теперь из замены ,  заметим что

$a^3 + b^3 = (\sqrt[3]{2-x} )^3+ (\sqrt[3]{7+x})^3 = 2 -x +7 + x = 9$

Из этого выходит что :

$a^3 + b^3 = 3 (a+b) \\\\ 3(a+b) = 9 \\\\ a + b = 3 \\\\ a = 3 -b$

Подставим в исходное уравнение

$(3-b )^2 + b^2 - (3-b)b =3 \\\\ (3-b)(3-b - b) + b^2 = 3 \\\\ (3-2b) (3-b ) + b^2 = 3 \\\\ 9 - 9b + 3b^2 = 3 \\\\ 3b^2 -9b + 6= 0 ~~ | :3\\\\ b^2 - 3b + 2 =0 \\\\ (b-1)(b-2) = 0 \\\\ b_1 = 1 ~ ; ~ b_2 = 2$

И , наконец ,  находим  корни :

$\sqrt[3]{7+x} = b$

$\hspace{-1,4em}1)~\sqrt[3]{7 +x} =1 \\\\ 7 + x = 1 \\\\ x_1 = -6$           $\hspace{-1,4em}2)~\sqrt[3]{7 +x} =2 \\\\ 7 + x = 8 \\\\ x_2 = 1$