Question

100 баллов! срочно! решить уравнение с параметром
$\sqrt{ |x| + 1 } - \sqrt{ |x| } = a$
​

Answer 1

Ответ:

Если a∈(0;1|, то  $x=\pm \dfrac{(1-a^2)^2}{4a^2}.$ При прочих a решений нет.

Объяснение:

Поскольку $\sqrt{|x|+1} > \sqrt{|x|},$  делаем вывод, что a>0. Кроме того, функция $f(x)=\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=\dfrac{1}{\sqrt{|x|+1}+\sqrt{|x|}}$  четная (f(-x)=f(x)) и при x>0 убывающая. Поэтому самое большое значение эта функция достигает при x=0, и это значение равно 1. Поэтому для a можно сделать и такое ограничение: a≤1. Пока мы не знаем, как эти рассуждения помогут нам жить, но хуже точно не будет. Итак,                  a∈(0;1].

Обозначим:

$\sqrt{|x|+1}=p\ge 1;\ \sqrt{|x|}=q\ge 0.$ Заметим, что

  p²-q²=|x|+1-|x|=1, поэтому для нахождения p и q имеем систему

$\left \{ {{p-q=a} \atop {p^2-q^2=1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p-q=a} \atop {(p-q)(p+q)=1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p-q=a} \atop {a(p+q)=1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p-q=a} \atop {p+q=\frac{1}{a}}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2p=a+\frac{1}{a}} \atop {2q=\frac{1}{a}-a}} \right. \Leftrightarrow$

$\left \{ {{4(|x|+1)=(a+\frac{1}{a})^2} \atop {4|x|=(\frac{1}{a}-a)^2}} \right. \Leftrightarrow 4|x|=\left(\dfrac{1}{a}-a\right)^2;\ x=\pm \dfrac{(1-a^2)^2}{4a^2}.$

Кстати, то, что a∈ (0;1), мы использовали при возведении в квадрат второго уравнения системы.