Question

4sin10°sin50°sin70°. За допомогою яких формул це розв'язується? Саме розв'язування знайшов, але я не розумію перетворень у ньому.

Answer 1

Вітаю . Можна різними способами спростити вираз.

Один з таких.

Answer 2

Ответ:

4sin10°sin50°sin70° = 1/2

Объяснение:

Формулы, которые нам будут нужны для преобразования:

$\displaystyle\boxed{\sin\alpha \cdot\sin\beta = \frac{1}{2} \bigg(\cos(\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\bigg)\ }\\ \boxed{\sin\alpha \cdot\cos\beta = \frac{1}{2} \bigg(\sin(\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta )\bigg)\ }$

4sin10°sin50°sin70°

• sin10°sin50° распишем по вышеуказанной формуле преобразования произведения в разность:

$\displaystyle\not4\sin70^\circ\bigg(\frac{1}{\not2} \big(\cos(10^\circ-50^\circ)-\cos(10^\circ+50^\circ)\big)\bigg)=2\sin70^\circ\bigg(\cos(-40^\circ)-\cos60^\circ\bigg)$

• cos 60° = 1/2; cos(-40°) = cos 40°. Подставляем:

$\displaystyle 2\sin70^\circ\cdot\bigg(\cos40^\circ-\frac{1}{2}\bigg)=\bigg(2\cos40^\circ-2\cdot\frac{1}{2} \bigg)\cdot\sin70^\circ=\big(2\cos40^\circ-1\big)\cdot\\\\\cdot\sin70^\circ=2\cos40^\circ\sin70^\circ-1\cdot\sin70^\circ=2\sin70^\circ\cos40^\circ-\sin70^\circ$

• Применяем вторую из вышеуказанных формул преобразования произведения в разность:

$\displaystyle\not2\cdot \frac{1}{\not2} \bigg(\sin(70^\circ-40^\circ)+\sin (70^\circ+40^\circ )\bigg)\cdo-\sin70^\circ=\sin30^\circ+\sin110^\circ-\sin70^\circ$

• sin 30° = 1/2; sin a = sin (180° - a). Применяем:

$\displaystyle\frac{1}{2} + \sin (180^\circ-110^\circ) - \sin 70^\circ = \frac{1}{2} + \sin 70^\circ - \sin 70^\circ = \frac{1}{2}$