Question

Помогите решить уравнение 8^х=х^2

Answer 1

Ответ:

$x=-\dfrac{2W(\frac{\ln{8}}{2})}{\ln{8}}$

Пошаговое объяснение:

$x^2=8^x\\|x|=8^{\frac{x}{2}}$

Докажем, что при x ≥ 0 решений нет. Рассмотрим на этом промежутке функцию $f(x)=8^{\frac{x}{2}}-|x|=8^{\frac{x}{2}}-x$. Её производная $f'(x)=\dfrac{\ln{8}}{2}\cdot8^{\frac{x}{2}}-1$. Она имеет ноль в точке $x_0=2\log_8{\dfrac{2}{\ln{8}}}$. f'(x) — монотонно возрастающая функция, значит, при x < x₀ f'(x) < 0, при x > x₀ f'(x) > 0, то есть x₀ — точка минимума. Оценим значение функции в этой точке:

$f(x_0)=\dfrac{2}{\ln{8}}-2\log_8{\dfrac{2}{\ln{8}}} > \dfrac{2}{\ln{e^3}}-2\log_8{\dfrac{2}{\ln{e}}}=\dfrac{2}{3}-2\cdot\dfrac{1}{3}=0$

Таким образом, в точке минимума функция больше нуля, значит, и на всей области определения она тоже больше нуля. Значит, при x ≥ 0 решений нет.

Рассмотрим случай x < 0:

$-x=8^{\frac{x}{2}}|\cdot 8^{-\frac{x}{2}}\\-x\cdot 8^{-\frac{x}{2}}=1\\-x\cdot e^{\ln{8^{-\frac{x}{2}}}}=1\\-x\cdot e^{-\frac{x\ln{8}}{2}}=1|\cdot\dfrac{\ln{8}}{2}\\-\dfrac{x\ln{8}}{2}\cdot e^{-\frac{x\ln{8}}{2}}=\dfrac{\ln{8}}{2}\\W\left(-\dfrac{x\ln{8}}{2}\cdot e^{-\frac{x\ln{8}}{2}}\right)=W\left(\dfrac{\ln{8}}{2}\right)\\-\dfrac{x\ln{8}}{2}=W\left(\dfrac{\ln{8}}{2}\right)\\x=-\dfrac{2W(\frac{\ln{8}}{2})}{\ln{8}}$

*Стоит упомянуть, что аргумент W-функции положителен, значит, она даёт однозначное положительное значение.