Question

Сколько треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами? А сколько, если ни одна из сторон многоугольника не является стороной какого-либо треугольника?

Answer 1

Ответ:

n(n-1)(n-2)/6 треугольников

n(n-4)(n-5)/6 треугольников

Объяснение:

Первую вершину можно выбрать n способами (всего n возможных точек из вершин многоугольника - для вершин треугольника), вторую n-1 (так одну уже выбрали), третью n-2. По правилу умножения событий всего можно построить n(n-1)(n-2) треугольников. При этом каждый треугольник мы посчитали 6 раз. (A->B->C, A->C->B, B->C->A, B->A->C, C->A->B, C->B->A), итого имеем  n(n-1)(n-2)/6 треугольников

Чтобы можно было образовать треугольник, нужны еще три точки которые будут вершинами многоугольника и лежать "между" вершинами треугольника

Первую вершину можно выбрать n способами (всего n возможных точек из вершин многоугольника - для вершин треугольника), вторую n-4 (так одну уже выбрали, нельзя брать 3 "невершины" - иначе получим сторону многоугольника), третью n-5 (3 "невершины" нельзя, 2 уже выбрали). По правилу умножения событий всего можно построить n(n-4)(n-5) треугольников. При этом каждый треугольник мы посчитали 6 раз, итого имеем  n(n-4)(n-5)/6 треугольников